教案抛物线的几何性质

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1、抛物线的几何性质教案 教学目标1．引导学生运用对比(同椭圆、双曲线)和类比(抛物线之间)的思想得到抛物线的几何性质．2．使学生初步掌握有关抛物线问题的解题方法，培养学生严谨、周密的思考问题的能力及抽象概括能力．3．通过对抛物线几何性质的探索，强化学生的注意力及新旧知识的联系，树立学生求真的勇气和自信心教学重点与难点得出抛物线几何性质的思维过程，掌握运用抛物线的几何性质去解决问题的方法．教学过程一、复习提问师：我们已经学习了椭圆及双曲线的几何性质，请同学们回忆一下，是从哪几个方面研究的？生：研究了范围、对称性、顶点、离心率、渐近线几个问题．师：在研究几何性质时，对曲线的方程有无

2、限制？生：是在曲线的标准方程条件下研究的．(说明：课前印发如下表格，请同学填出椭圆、双曲线几何性质．在课上引导学生对比看，联想抛物线y2=2px的几何性质，再“类比看”填出y2=-2px及x2=±2py的几何性质．) 椭圆双曲线抛物线 标准方程＝1(a>b>0)＝1(a>b>0)=1(a>0，b>0)=1(a>0，b>0)y2=2px(p>0)  图象        范围    对称性    顶点    离心率    渐近线     二、类比椭圆、双曲线得出抛物线的几何性质．师：请同学们拿出课前发的表，你是怎样与椭圆、双曲线的几何性质相比较而得出抛物线的几何性质？(说明：同学

3、们讨论．)师：对于方程y2=2px所示抛物线的范围，你是如何得出的？生：由p＞0可知，x的取值范围是x≥0，所以抛物线在y轴的右侧．师：当x的值增大时，图象是如何变化的？生：当x的值增大时，

4、y

5、也增大，说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．师：由方程y2=2px，观察所表示的图象是对称图形吗？为什么？生：当以-y代y，方程y2=2px值不变，所以此抛物线关于x轴对称，即抛物线y2=2px的对称轴是x轴．师：什么叫曲线的顶点？生：曲线与坐标轴的交点叫曲线的顶点．师：抛物线y2=2px的顶点在什么位置？为什么？生：在方程y2=2px中，当x=0时，y=0，所以顶点在坐标原点．师：

6、(强调)在一个特殊位置．师：抛物线y2=2px的离心率如何得到？生：由抛物线定义可知，离心率e=1．师：与椭圆、双曲线的几何性质相比较，抛物线的几何性质又有何区别．(说明：让学生观察图象，总结特征．)师：从抛物线位置上看．生：抛物线的图象只位于半个坐标平面内．师：有无渐近线？生：尽管抛物线也可以无限延伸，但没有渐近线．生：(发现)抛物线只有一条对称轴，这条对称轴垂直于抛物线的准线．又有学生指出，这条对称轴同顶点和焦点的连线重合．师：很好！两种说法同样正确，只是从不同的角度观察问题得到的，结论是一致的．(鼓励学生继续观察)生：抛物线只有一个顶点，它是焦点到准线距离的中点．生：抛

7、物线无中心．师：[小结]同学们讨论得很好，抛物线的其它标准方程y2=-2px，x2=2py，x2=-2py也有类似的结论，它们的顶点都在坐标原点，一次项的变量如为x(或y)，则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴，一次项的系数的符号决定抛物线的开口方向，正号决定开口方向和对称轴所在坐标轴的方向相同，负号决定开口方向和对称轴所在坐标轴方向相反．(说明：请同学们完成填表．)师：在抛物线方程中，参数p对图象有何影响？我们不妨看抛物线(计算机演示描点法作出以上3个图象．)(如图2-53．)学生可直观看到p值越大，抛物线开口也越大．理由，对于同一个x值，它们对应的y值不同，p值大，

8、y

9、也大

10、．三、应用抛物线的几何性质，进一步探寻其特征．例1 用计算机打出(或投影仪打出)抛物线y2=2px的图象，且有一条过焦点垂直于对称轴的弦(如图2-54)．生：这条弦很特殊．师：抛物线中过焦点且垂直于对称轴的弦，叫抛物线的通径．能否知道它的长度？生：(很快发现)这条通径的长为2p．师：(追问)你是怎样得到的？生：分别过点A、B作准线l的垂线，垂足分别为D、C．(可由计算机演示出，或在投影片中画出)．由抛物线定义知

11、AF

12、=

13、AD

14、=p，

15、BF

16、=

17、BC

18、=p，所以

19、AB

20、＝

21、AF

22、+

23、BF

24、＝2p．另有学生用不同方法：因为A、B两点在抛物线上，又

25、AB

26、=

27、y1-y2

28、＝2p．

29、师：小结两种不同的方法，方法一用抛物线定义得出，较简捷．方法二由解析法得出，这种解题思想很好．师：引导学生观察，由方法一在图中看到，得到矩形ABCD(如图2-55)．生：(反应出)这个矩形是由两个正方形AFED、BFEC组成的．师：(表扬学生善于观察问题，发现问题，继而再将问题引申．)连结DF、CF后，∠DFC=？师：很好(鼓励学生大胆探索，再将问题引申．计算机演示图形变化，AB过点F但与x轴斜交，引出例2)．例2 过焦点的弦AB不垂直于对称轴，此时可得到什么图形？∠DFC=？生：分别过点A、B作准线的