高中数学必修2教案3.1 直线的倾斜角和斜率

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1、精品3.1直线的倾斜角和斜率教学目标:正确理解直线的倾斜角和斜率的概念，理解直线的倾斜角的唯一性，理解直线的斜率的存在性，斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.教学重点、难点：直线的倾斜角和斜率概念以及过两点的直线的斜率公式；直线的倾斜角和斜率概念以及过两点的直线的斜率公式.熟练掌握两条直线平行和垂直的条件并灵活运用；把研究两条直线的平行或垂直问题,转化为研究两条直线的斜率的关系问题．直线的倾斜角的概念我们知道,经过两点有且只有(确定)

2、一条直线.那么,经过一点P的直线l的位置能确定吗?(如图,过一点P可以作无数多条直线a,b,c,…)；易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?(1)它们都经过点P.(2)它们的‘倾斜程度’不同.怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?引入直线的倾斜角的概念:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时,规定α=0°.因此，倾斜角α的取值范围是：00≤α＜1800.当直线l与x轴垂直时,α=900.因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的

3、倾斜角,引入直线的倾斜角之后,我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.倾斜程度相同的直线倾斜角相等,因此可以用倾斜角来表示一条直线的倾斜程度.直线a∥b∥c,那么它们的倾斜角α相等吗?答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素:一个点P和一个倾斜角α.两者缺一不可.精品直线的斜率:日常生活中，经常用“升高量与前进量的比”表示斜面的“坡度”(倾斜程度),即坡度(比)=有了倾斜角的概念，坡度就是“倾斜角的正切”,我们把一条直线的倾斜角α(α≠90

4、0)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k=tanα⑴当直线l与x轴平行或重合时,α=0°,k=tan0°=0;⑵当直线l与x轴垂直时,α=90°,k不存在.由此可知,一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.例如,α=45°时,k=tan45°=1;α=135°时,k=tan135°=tan(180°-45°)=-tan45°=-1.学习了斜率之后,我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度.直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示

5、直线P1P2的斜率k?设直线的倾斜角为α；如图分别为α是锐角和钝角、P1P2向上和向下共四种情况；如图(1)：当α为锐角时，α=∠QP1P2，x1x2,y1

6、)(x1≠x2)的直线的斜率公式为对于上面的斜率公式要注意下面四点：(1)当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α=90,直线与x轴垂直；(2)k与P1、P2的顺序无关,即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换,但分子与分母不能交换;(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;(4)当y1=y2时,斜率k=0,直线的倾斜角α=00,直线与x轴平行或重合.(5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．例1已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线A

7、B,BC,CA的斜率,并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.略解:直线AB的斜率k1=1/7>0,所以它的倾斜角α是锐角;[来源:学科网]直线BC的斜率k2=-0.5<0,所以它的倾斜角α是钝角;直线CA的斜率k3=1>0,所以它的倾斜角α是锐角.例2在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为1,-1,2,及-3的直线a,b,c,l.精品分析:要画出经过原点的直线a,只要再找出a上的另外一点M.而M的坐标可以根据直线a的斜率确定;或者k=tanα=1是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x轴的正半轴为角的一边,在x轴的

8、上方作45°的角,再把所作的这一边反向延长成直线即可.略解:设直线a上的另外一点M的坐标为(x,y),根据斜率公式有1=(y－0)／(x－0)，所以x=y可令x=1,则y=1,于是点M的坐标为(1,1).此时过原点和点M(1,1),可作直线a.同理,可作直线b,c,l.练习:(1)P951.2.3.4.(2)过点P(－2,m)和Q(m,4)的直