奥数：第七讲 和倍问题

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1、第七讲和倍问题　　和倍问题是已知大小两个数的和与它们的倍数关系，求大小两个数的应用题.为了帮助我们理解题意，弄清两种量彼此间的关系，常采用画线段图的方法来表示两种量间的这种关系，以便于找到解题的途径。例1甲班和乙班共有图书160本.甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？　　分析设乙班的图书本数为1份，则甲班图书为乙班的3倍，那么甲班和乙班图书本数的和相当于乙班图书本数的4倍.还可以理解为4份的数量是160本，求出1份的数量也就求出了乙班的图书本数，然后再求甲班的图书本数.用下图表示它们的关系：　　解：乙班：160÷（3+1）=40（本）　

2、　甲班：40×3=120（本）　　或160-40=120（本）　　答：甲班有图书120本，乙班有图书40本。　　这道应用题解答完了，怎样验算呢？　　可把求出的甲班本数和乙班本数相加，看和是不是160本；再把甲班的本数除以乙班本数，看是不是等于3倍.如果与条件相符，表明这题作对了.注意验算决不是把原式再算一遍。　　验算：120＋40=160（本）　　120÷40=3（倍）。例2甲班有图书120本，乙班有图书30本，甲班给乙班多少本，甲班的图书是乙班图书的2倍？　　分析解这题的关键是找出哪个量是变量，哪个量是不变量.从已知条件中得出，不管甲班给乙班多少本书，

3、还是乙班从甲班得到多少本书，甲、乙两班图书总和是不变的量.最后要求甲班图书是乙班图书的2倍，那么甲、乙两班图书总和相当于乙班现有图书的3倍.依据解和倍问题的方法，先求出乙班现有图书多少本，再与原有图书本数相比较，可以求出甲班给乙班多少本书（见上图）。　　解：①甲、乙两班共有图书的本数是：　　30＋120=150（本）　　②甲班给乙班若干本图书后，甲、乙两班共有的倍数是：　　2＋1＝3（倍）　　③乙班现有的图书本数是：150÷3=50（本）　　④甲班给乙班图书本数是：50-30=20（本）　　综合算式：　　（30＋120）÷（2+1）=50（本）　　50-

4、30=20（本）　　答：甲班给乙班20本图书后，甲班图书是乙班图书的2倍。　　验算：（120-20）÷（30+20）＝2（倍）　　（120-20）+（30+20）＝150（本）。例3光明小学有学生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？　　分析把女生人数看作一份，由于男生人数比女生人数的3倍还少40人，如果用男、女生人数总和760人再加上40人，就等于女生人数的4倍（见下图）。　　解：①女生人数：（760＋40）÷（3＋1）=200（人）　　②男生人数：200×3-40=560（人）　　或760-200=560（人）　　答：男生有56

5、0人，女生有200人。　　验算：560＋200=760（人）　　（560+40）÷200=3（倍）。例4果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵.桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？　　分析下图可以看出桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，都是同梨树相比较、以梨树的棵数为标准、作为1份数容易解答.又知三种树的总数是552棵.如果给苹果树增加20棵，那么就和梨树同样多了；再从桃树里减少12棵，那么就相当于梨树的2倍了，而总棵树则变为552+20-12=560（棵），相当于梨树棵数的4倍。　　解：①梨树的棵数

6、：　　（552＋20-12）÷（1＋1＋2）　　=560÷4=140（棵）　　②桃树的棵数：140×2＋12=292（棵）　　③苹果树的棵数：140-20=120（棵）　　答：桃树、梨树、苹果树分别是292棵、140棵和120棵。例5549是甲、乙、丙、丁4个数的和.如果甲数加上2，乙数减少2，丙数乘以2，丁数除以2以后，则4个数相等.求4个数各是多少？　　分析上图可以看出，丙数最小.由于丙数乘以2和丁数除以2相等，也就是丙数的2倍和丁数的一半相等，即丁数相当于丙数的4倍.乙减2之后是丙的2倍，甲加上2之后也是丙的2倍.根据这些倍数关系，可以先求出丙数，

7、再分别求出其他各数。　　解：①丙数是：（549＋2-2）÷（2＋2＋1＋4）　　=549÷9　　=61　　②甲数是：61×2-2=120　　③乙数是：61×2＋2=124　　④丁数是：61×4=244　　验算：120+124＋61+244=549　　120＋2=122124-2=122　　61×2＝122244÷2＝122　　答：甲、乙、丙、丁分别是120、124、61、244.习题七　　1.小明和小强共有图书120本，小强的图书本数是小明的2倍，他们两人各有图书多少本？　　2.果园里一共种340棵桃树和杏树，其中桃树的棵数比杏树的3倍多20棵，两种树各

8、种了多少棵？　　3.一个长方形，周长是30厘米，长是宽的2倍，求这个长方形的面积