奥数：第14讲 整数问题第07讲

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1、第14讲整数问题第07讲数论综合之二例1用a、b、c、d、e分别代表五进制中五个互不相同的数字，如果是由小到大排列的连续正整数，那么所表示的整数写成十进制的表示是多少?答案108．分析要想求出所表示的十进制数，就必须求出也就是要求出c、d、e的具体数字。详解由题意知a、b、c、d、e均是0到4之间的不同的数字．再由是从小到大的连续自然数，可得先由即可得代入前面的等式可解得于是我们得到评注大家都知道，一个十进制数总可表为其各位数字乘以10的某个次方之和的形式，如对于一般的进制也有类似结果，如本题中将任意进制的数化为十进制表示，只需要将该数

2、按其进制展开成和的形式，再按十进制进行计算即可．例2设1、3、9、27、81、243是六个给定的数，从这六个数中取出若干个数，每个数至多取一次，然后将取出的数相加得到一个和数，这样共得到63个不同的数．把这些数从小到大排列起来依次是1、3、3、9、10、12……那么其中第39个数是多少?答案256．分析观察题目中所给的六个数，任何一个数都比小于该数的所有数的和还要大．因此在新得到的63个由小到大的数中，仅由这些较小数字相加得到的数字位排在这个较大数字的前面．由此知243只可能出现在由前面五个数组合出的所有和数之后．而在仅由前面五个数取出

3、若干个数相加时，每个数都有取或不取两种可能．因此一共可组合出25－1=31个和数，之所以要减1是因为每个数都不取这种情况是不允许的．接下来便是有243参与相加的和数，这些数中的前8个恰好是由243与1、3、9这三个数中取出若干个相加得到的，即243、243+1、243+3、243+1+3、243+9、243+1+9、243+3+9、243+1+3+9．由此可见，第39个数恰好是由243、1、3、9相加得到的和数，即243+1+3+9=256．详解略．例3答案440．分析题目中的算式共有40个加项，通过简单的观察不难发现，去掉中括号后，这

4、是一个等差数列，首尾相加为23．这样上述算式中的40项恰好两两配对，分为20组，每组中的两项括号内的算式之和恰为23．以与为例作进一步分析，以分别表示的小数部分，我们有由于左边是整数，故右边必是整数；又23也是整数，于是是整数．再注意到任一个数的小数部分一定大于或等于0并且小于1，因此定大于或等于0并且小于2．于是我们得到由此我们可求得其他的19组的计算与此类似，每组中的两项之和也为22．详解根据以上的分析，计算如下：例4甲乙两个自然数乘积比甲数的平方小1988，那么满足上述条件的自然数值几组?答案6组．分析题目条件中涉及到甲乙两个自然

5、数以及它们的乘积和甲数的平方．这四个数都是未知数，而题目条件中仅给出甲乙的乘积与甲数平方的关系，因此可以用不定方程来求解．详解设甲数为a，乙数为b，由题目条件可列‘出方程：．将此方程化为　　　　　　由于再注意到因此71必是a的约数．那a可以是71、71×2、71×2×2、71×7、71×2×7、71×2×2×7这6种可能，6个b分别取值71－7×22、71×2－2×7、71×2×2－7、71×2×7－2、71×2×2×7－1．综上所述，满足题目的条件的自然数共有6组．评注本题的难度并不是列出不定方程，而是列出方程后如何求解．我们经过简单

6、的分析，发现71必是a的约数，这样就简化了计算过程；再通过讨论a中含质因数7和2的情况，得出a共有6种可能的取值．例5将95写成若干个(至少两个)连续自然数之和，有多少种不同的写法?给出全部可能的答案．答案3种，分别是95=47+48=17+18+……+21=5+6+……+14．分析题目要求将95写成两个或两个以上连续自然数之和．如果写成奇数个，则95是其中间数的倍数；如果写成偶数个，则95是其中间两个数和的倍数．由此进行与95约数有关的不定方程求解．详解将95分解质因数，95=5×19．若写成奇数个连续自然数的和，则95=项数×中间数

7、．经试验，只有项数=5，中间数=19，即17+18+19+20+21=95如果写成偶数个连续自然数的和，则95=经试验知中间两项和=95，项数=2，95=47+48；或中间两项和=19，项数=10，即19=9+10，95=5+6+……+14．所以，共3种不同的写法．评注本题与上一题本质上同一类问题，只不过在列方程时不像上一题那么直接，并且列出不定式方程后，求解的难度也比上一题要大一些，其中还利用到了等差数列的性质．例6甲、乙二人做同一个数的带余除法，甲将其除以8，乙将其除以9，甲所得的商数与乙所得的余数之和为13．那么甲所得的余数是多少

8、?答案4．分析题目中被除数及其除以8和9的商及余数均未知，只知道甲所得的商与乙所得的余数之和是13．未知数多于条件，明显是一道不定方程的题目．详解设这个数为a，甲乙做带余除法的结果分别为显然于是由此或若则于