奥数：第05讲 整数问题第6讲

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1、第05讲整数问题第6讲数论综合之一例1如果把任意n个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两种可能．那么n是多少?答案n=4．分析本题是考察n个连续自然数相乘，其积的个位数字的可能性．问题的关键在于这n个自然数是连续的，因此只要n大于或等于2，这n个自然数中就一定有偶数．另一方面，只要n大于或等于5，这n个自然数中就至少有一个数的个位数字是0或5．由此我们发现，如果n大于或等于5，那么这几个连续自然数之和的个位数字只能是0这一种可能．于是我们只需对n为2、3、4这三种取值逐一分析，即可得出答案．详解根据上述分析，知道n一定小于5．若，n=2，则1×2=2，2×3=6，4×5=2

2、0……因此2个连续自然数之积的个位数字至少也有三种可能，不合题意．若n=3，则1×2×3=6，2×3×4=24，3×4×5=60，因此，三个连续自然数之积的个位数字也至少有三种可能，不合题意．若n=4，则连续的4个自然数除以5的余数分别为0、1、2、3，或1、2、3、4或2、3、4、0或3、4、0、1或4、0、1、2，那么它们的乘积被5除的余数只能是即有0与4两种可能．又因为乘积是偶数，故其个位数字只有0、4．因此4个连接自然数之积的个位数字只有0或4两种可能．例2如果某整数同时具备如下三条性质：①这个数与1的差是质数，②这个数除以2所得的商也是质数，③这个数除以9所得的余

3、数是5，那么我们称这个整数为幸运数．求出所有的两位幸运数．答案14．分析题目给出了所谓幸运数具备的三个条件．①幸运数一定是某个质数加1得到的．②幸运数一定是某个质数的两倍．③幸运数一定是9的某一个倍数加5．题目要求的是所有的两位幸运数．这本身就使我们的求解范围缩小在两位数之内．先从条件②入手，再利用条件①和③，最终求出所有的两位幸运数．详解设所求的幸运数是质数P的两倍，即此幸运数为2P，则P的所有可能取值为5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47．于是2P－1的所有可能取值为9、13、21、25、33、37、45、57、6、1、73、81、8

4、5、93．根据题目条件①，2p一1应为质数，因此2p－1只可能为13、37、61或73．再由条件③知2p－1除以9所得余数应为4，于是2P－1只能等于13，从而这个幸运数只能是2P=14．评注本题采用的办法是穷举法．一般地，如果问题的答案只有有限多种可能性，并且数量较少，我们都可用穷举法：先列举出所有可能的解，逐步排除，最终得出答案．例3从一张2002毫米长、847毫米宽的长方形纸片上剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形．按照上面的过程不断地重复，最后剪得正方形的边长是多少毫米?答案77毫米．分析乍一看好像

5、无从下手，但是我们只要按照题目的条件剪几个正方形之后便可发现其中的规律．首先，原来的长方形长为2002毫米，宽为847毫米，因此第一个剪下的正方形边长应为847毫米，而剩下的长方形长为2002－847=1155毫米，宽仍为847毫米．按照题目的要求，第二次剪下的正方形边长仍为847毫米，但是此时剩下的长方形的长和宽均发生了变化，其长变为847毫米，而宽为1155－847=308毫米．其次，对于这个数的长方形，我们按照题目的要求再逐个剪去相应的正方形……依次类推，直至进行若干次这样的操作后剩下的长方形恰好是宽的倍数，此时只需一个一个地剪下以宽为边长的正方形，恰好将纸片分割完．

6、详解从长2002毫米、宽847毫米的长方形纸板上首先可剪下边长为847毫米的正方形，这样的正方形的个数恰好是2002除以847所得的商，而余数恰好是剩下的长方形的宽．于是有由上述一系列带余除法算式不难看出，最后剪得的正方形的边长为77毫米．评注本题的求解过程其实是求2002与847的最大公约数的过程．上述的计算过程称为辗转相除法，也称欧几里德算法．‘例4把26、33、34、35、63、85、91、143分成若干组，要求每一组中任意两个数的最大公约数为1．那么最少要分几组?答案3组．分析本题是一道关于最大公约数的问题．我们知道两个数的最大公约数为1，即互质相当于它们的质因数分

7、解式中没有相同的质因数．这就提示我们将题目所给的数字质因数分解．详解将题目中的数字质因数分解如下：26=2×13，33=3×11，34=2×17，35=5×7，63=32×7，85=5×17，91=7×13，143=11×13．由于题目要求将这些数字分组，满足每组中任意两个数的最大公约数为1，而26、91、143均含质因数13，因此它们两两不在同一组，于是这些数至少应分为3组．我们这里推出一种分法：将26、35分为一组，91、34、33分为一组，而143、63、85分为一组．评注对于涉及到最大公约数的问题，通常将数