奥数：msdc.初中数学.相似三角形b级.第03讲.学生版

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1、射影定理和内接矩形中考要求内容基本要求略高要求较高要求相似了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，会判断四条线段是否成比例，会利用线段的比例关系求未知线段；了解黄金分割；知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似；了解图形的位似关系会用比例的基本性质解决有关问题；会用相似多边形的性质解决简单的问题；能利用位似变换将一个图形放大或缩小相似三角形了解两个三角形相似的概念会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；会利用三角形的相似解决实际问题相似多边形知道相似多边形及其性质；认识现实生活中物体的相似会用相

2、似多边形的性质解决简单问题重难点1．相似定义，性质，判定，应用和位似2．相似的判定和证明3．相似比的转化课前预习希尔宾斯基三角形许多人看到“雪花曲线”时，都感到十分奇怪，把它称为“数学怪物”．后来，人们发现像“雪花曲线”这样的“数学怪物”还真不少．让我们再来欣赏“希尔宾斯基三角形”，它是波兰数学家希尔宾斯基最先作出的．图1是一个正三角形，找到三条边的中点，连接成一个黑色的小正三角形，黑色表示要把它挖去．按照这个规律，在图2中的白色小三角形中继续挖，得到图3……这样就可以得到一个希尔宾斯基三角形．看到这样的图案，你能想到

3、什么呢？能跟我们平时做的题型产生什么联想？能想到如果这个图形出现在中考题型中，会以什么方式出现吗？例题精讲模块一（斜）射影定理类相似问题射影定理常见及扩展模型：图1有：图2有：【例1】如图，在直角梯形中，，对角线，垂足为，，过的直线交于．⑴，⑵．【巩固】如图，中，点在上，，是的中点，于，点是的中点，连接。求证：．【拓展】已知，如图，为等腰三角形，，在不添加辅助线的条件下：⑴当与满足什么关系时，(括号里填图中已有线段)．⑵证明你的结论．模块二四边形类相似问题☞内接矩形类内接矩形类的模型及结论：其中，在平时训练中遇到内接矩

4、形类的图形，就要充分利用这一结论，有助于进行解题．【例2】如图，已知中，，四边形为正方形，其中在边上，在上，求正方形的边长．【巩固】如图，已知中，四边形为正方形，在线段上，在上，如果，，求的面积．【拓展】如图，面积为的正方形内接于面积为的正三角形，其中是整数，且不能被任何质数的平方整除，则的值等于．【拓展】如图，在中，，，，动点(与点，不重合)在边上，∥交于点．⑴当的面积与四边形的面积相等时，求的长．⑵当的周长与四边形的周长相等时，求的长．⑶试问在上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若不存在，请简要说明理由；若存在，请

5、求出的长．☞平行四边形类【例2】如图，的对角线相交于点，在的延长线上任取一点，连接交于点，若,求的值．【巩固】如图：矩形的面积是36，在边上分别取点，使得，，且与的交点为点，求的面积。【巩固】如图，已知在矩形中，为的中点，交于，连接（）.（1）与是否相似，若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由.（2）设是否存在这样的值，使得∽，若存在，证明你的结论并求出值；若不存在，说明理由.☞梯形类【例2】如图，在梯形中，，,，若，且梯形与梯形的周长相等，求的长．【巩固】如图，已知梯形中，，，,,(),,交于点，连接.（1）判断

6、与，与是否分别一定相似，若相似，请加以证明.（2）如果不一定相似，请指出、满足什么关系时，它们就能相似.模块二竞赛真题【例3】设是内任意一点，的重心分别为、、，则的值为（）．．．．【例2】如图所示，四边形是梯形，点是上底边上一点，的延长线与的延长线交于点．过点作的平行线交的延长线于点，与交于点．证明：．【例3】设是的边上的一点，作交于点，作交于点，已知的面积分别为、．则四边形的面积为．【例2】如图所示，在中，，点是的中点，是的平分线，，则的长为．【例3】如图，在中，是高，为的角平分线，若，则的长等于．【例4】如图，射线

7、、都垂直于线段，点为上一点，过点作的垂线分别交、于点、，过点作的垂线，垂足为．若，则．【例2】设中，边上一点满足，边上一点满足，边上一点满足，那么的面积：的面积=（）．．．．【例3】如图所示，正方形的面积为，分别在上，并且，，则长方形的面积是．【例4】如图，在中，，，且，则．课堂检测1．如图，中，于，于，于，交于，、的延长线交于点，求证：．2．如图，已知中，，四边形为正方形，其中在边上，在上，求正方形的边长．总结复习1．通过本堂课你学会了．2．掌握的不太好的部分．3．老师点评：①．②．③．课后作业1．如图，中，，于为的

8、中点，的延长线交于．求证：．2．如上图，在中，，的垂直平分线交于，交的延长线于，求证：平分．3．中，正方形的两个顶点、在上，另两个顶点、分别在、上，,边上的高,求.4．如图，已知中，，四边形为正方形，其中在边上，在上，求正方形的边长．5．内有一点，过作三边的平行线，其中在边上，在边上，在边上，并且三个平行四边形的面积分别为，那么的