9抽屉原理——崔衰衰奇遇记

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1、抽屉原理——崔衰衰奇遇记本讲要点本讲主要是讲在数论方面构造抽屉解决实际问题，主要讲构造抽屉的技巧，其中用到一些余数性质，为以后要讲的同余定理做了铺垫.把所有整数按照除以某个自然数m的余数分为m类，叫做m的剩余类或同余类，用[0]，[1]，[2]，…，[]表示.每一个类含有无穷多个数，例如[1]中含有1，，，，….在研究与整除有关的问题时，常用剩余类作为抽屉.根据抽屉原理，可以证明：任意个自然数中，总有两个自然数的差是的倍数．例1从1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两个数，

2、它们的差是12．【分析】在这20个自然数中，差是12的有以下8对：｛20，8｝，｛19，7｝，｛18，6｝，｛17，5｝，｛16，4｝，｛15，3｝，｛14，2｝，｛13，1｝．　　另外还有4个不能配对的数｛9｝，｛10｝，｛11｝，｛12｝，共制成12个抽屉（每个括号看成一个抽屉）.只要有两个数取自同一个抽屉，那么它们的差就等于12，根据抽屉原理至少任选13个数，即可办到（取12个数：从12个抽屉中各取一个数（例如取1，2，3，…，12），那么这12个数中任意两个数的差必不等于12）．例2从1到20这20个数中，任取11

3、个不同的数，必有两个数其中一个是另一个数的倍数．【分析】把这20个数分成以下10组，看成10个抽屉：(1，2，4，8，16)，(3，6，12)，(5，10，20)，(7，14)，(9，18)，(11)，(13)，(15)，(17)，(19)，前5个抽屉中，任意两个数都有倍数关系．从这10个抽屉中任选11个数，必有一个抽屉中要取2个数，它们只能从前5个抽屉中取出，这两个数就满足题目要求．例3证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数．在与整除有关的问题中有这样的性质，如果两个整数a、b，它们除以自然数m的余数相同，那么它

4、们的差是m的倍数.根据这个性质，本题只需证明这8个自然数中有2个自然数，它们除以7的余数相同.我们可以把所有自然数按被7除所得的7种不同的余数0、1、2、3、4、5、6分成七类.也就是7个抽屉.任取8个自然数，根据抽屉原理，必有两个数在同一个抽屉中，也就是它们除以7的余数相同，因此这两个数的差一定是7的倍数．例4从1，2，3，……49，50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除，则最多能取出多少个数？【分析】将至这个数，按除以的余数分为类：，，，，，，，所含的数的个数分别为，，，，，，.被7除余1与余

5、6的两个数之和是7的倍数，所以取出的数只能是这两种之一；同样的，被7除余2与余5的两个数之和是7的倍数，所以取出的数只能是这两种之一；被7除余3与余4的两个数之和是7的倍数，所以取出的数只能是这两种之一；两个数都是7的倍数，它们的和也是7的倍数，所以7的倍数中只能取1个．所以最多可以取出个例5在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是3的倍数？【分析】任何整数除以3的余数只能是0，1，2三种情形之一．现在，对于任意的五个自然数，根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有两个或两个以上的数，于是可分下面两种情形来加以讨论．第一种情

6、形：有三个数在同一个抽屉里，即这三个数除以3后具有相同的余数．因为这三个数的余数之和是其中一个余数的3倍，故能被3整除，所以这三个数之和能被3整除．第二种情形：至多有两个数在同一个抽屉里，那么每个抽屉里都有数，在每个抽屉里各取一个数，这三个数被3除的余数分别为0，1，2．因此这三个数之和能被3整除．综上所述，在任意的五个自然数中，其中必有三个数的和是3的倍数．例6【分析】求证：在边长为1的正方形内随意放进9个点，证明其中必有3个点构成的三角形的面积不大于．如图所示，把正方形分成四个形状大小相同的正方形，每个小正方形的面积是

7、大正方形的．将这9个点任意放入这四个正方形中．根据抽屉原理，多于2×4个点放入四个正方形中，至少有2+1个点落在其中一个正方形之内，则把落在这正方形中的三点组成的三角形，其面积不超过小正方形面积的，所以其面积不超过大正方形面积的．家庭作业1.从1，4，7，10，…，37，40这14个数中任取8个数，试证：其中至少有2个数的和是41.【分析】构造和为的抽屉：，，，，，，，现在取个数，一定有两个数取在同一个抽屉，所以至少有2个数的和是41.2.从1，3，5，7，…，37，39这20个奇数中任意取出14个，试证明：其中至少有2个

8、数，一个数是另一个数的倍数.【分析】将这20个奇数按倍数关系构造（1，3，9，27），（5，15），（7，21），（11，33），（13，39），（17），（19），（23），（25），（29），（31），（35），（37）共13个抽屉，前5个抽屉，各抽屉内任意两数都存在倍数关系.取个数，一定会在同一抽