毕达哥拉斯定理是一个基本的几何定理.doc

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1、毕达哥拉斯定理是一个基本的几何定理，传统上认为是由古希腊的毕达哥拉斯所证明。  毕达哥拉斯在中国，《周髀算经》记载了勾股定理的公式与证明，相传是在商代由商高发现，故又有称之为商高定理；三国时代的赵爽对《周髀算经》内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明[2]。埃及称为埃及三角形。实际上，早在毕达哥拉斯之前，许多民族已经发现了这个事实，而且巴比伦、埃及、中国、印度等的发现都有真凭实据，有案可查。相反，毕达哥拉斯的著作却什么也没有留传下来，关于他的种种传说都是后人辗转传播的。可以说真伪难辨。这个现象的确不太公平，其所以这样，是因为现代的数学和科学来源于西方，而西方的数学及科学又来源于古希腊

2、，古希腊流传下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，自然就落在毕达哥拉斯的头上。他常常被推崇为“数论的始祖”，而在他之前的泰勒斯被称为“几何的始祖”，西方的科学史一般就上溯到此为止了。至于希腊科学的起源只是近一二百年才有更深入的研究。因此，毕达哥拉斯定理这个名称一时半会儿改不了。不过，在中国，因为我们的老祖宗也研究过这个问题，因此称为商高定理，而更普遍地则称为勾股定理。中国古代把直角三角形中较短的直角边叫做勾，较长的直角边叫做股，斜边叫做弦。[3]　(1)勾股定理是联系数学中最基本也是最原始的两个对象——数与形的第一定理。　　(2)勾股定理导致不可通约量的发现，从

3、而深刻揭示了数与量的区别，即所谓“无理数"与有理数的差别，这就是所谓第一次数学危机。　　(3)勾股定理开始把数学由计算与测量的技术转变为证明与推理的科学。　　(4)勾股定理中的公式是第一个不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，包括著名的费尔马大定理，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。[3]有关勾股定理的书籍　　这个定理有许多证明的方法，其证明的方法可能是数学众多定理中最多的。路明思（ElishaScottLoomis）的 PythagoreanProposition（《毕达哥拉斯命题》）一书中总共提到367种证明方式。　　有人会尝试以三角恒等式

4、（例如：正弦和余弦函数的泰勒级数）来证明勾股定理，但是，因为所有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作为勾股定理的证明（参见循环论证）。证法1　　作四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上。过点C作AC的延长线交DF于点P.　　∵D、E、F在一条直线上，且RtΔGEF≌RtΔEBD，　　∴∠EGF=∠BED，  　　∵∠EGF+∠GEF=90°，　　∴∠BED+∠GEF=90°，　　∴∠BEG=180°―90°=90°　　又∵AB=BE=EG=GA=c，　　∴ABEG是一个边长为c的正方形。　　∴∠AB

5、C+∠CBE=90°　　∵RtΔABC≌RtΔEBD，　　∴∠ABC=∠EBD.　　∴∠EBD+∠CBE=90°　　即∠CBD=90°　　又∵∠BDE=90°，∠BCP=90°，　　BC=BD=a.　　∴BDPC是一个边长为a的正方形。　　同理，HPFG是一个边长为b的正方形.　　设多边形GHCBE的面积为S，则　　A2+B2=C2证法2　　作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再做一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条直线上.　　过点Q作QP∥BC，交AC于点P.　　过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点　　F作FN⊥

6、PQ，垂足为N.　　∵∠BCA=90°，QP∥BC，　　∴∠MPC=90°，　　∵BM⊥PQ，　　∴∠BMP=90°，　　∴BCPM是一个矩形，即∠MBC=90°。　　∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90°，　　∠ABC+∠MBA=∠MBC=90°，　　∴∠QBM=∠ABC，　　又∵∠BMP=90°，∠BCA=90°，BQ=BA=c，　　∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.　　同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.即A2+B2=C2证法3　　作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.再作一个边长为c的正方形。把它们拼成如图所示的多边形.　　分别以CF，AE为边长做

7、正方形FCJI和AEIG，　　∵EF=DF-DE=b-a，EI=b，　　∴FI=a，　　∴G,I,J在同一直线上，　　∵CJ=CF=a，CB=CD=c，　　∠CJB=∠CFD=90°，　　∴RtΔCJB≌RtΔCFD，　　同理，RtΔABG≌RtΔADE，　　∴RtΔCJB≌RtΔCFD≌RtΔABG≌RtΔADE　　∴∠ABG=∠BCJ,　　∵∠BCJ+∠CBJ=90°，　　∴∠ABG+∠CBJ