实数指数幂及其运算教学设计姚璐

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1、实数指数幂及其运算（Ⅰ）教学设计首都师范大学附属中学姚璐课程名称：3.1.1实数指数幂及其运算（第一节）教材分析：1.数系的扩充众所周知，人类对于数的认识经历了漫长的过程，从到，从到，从到，乃至扩充到四元数等等。虽然每一次数的范围的扩大往往伴随着质疑，但随着时间的发展，人们逐渐能够接受越来越多的数，而且寻找到了许多新的数背后所蕴含的实际意义。数系扩充的动力主要包括两个方面：（1）生产生活的推动就本节课所涉及内容而言，指数模型是一种重要的数学模型，能较好的刻画许多自然现象（如放射性元素的衰变），在模型中变量t显然是连续的，因此要求我们将指数推广到实数范围内。

2、（2）数学本身的推动许多数的出现都与方程有关（如负数，分数，复数等），根式也不例外。当我们将数系扩充后，我们任然希望新的数系能较好的继承原有数系的一些性质。事实上，如果我们假定指数运算拓展到实数范围内后，仍然继承下述性质：（1）（，）（2）当时，若，则（，）当时，若，则（，）当时，若，则（，）则指数的定义是唯一的2.法从到是非常重要的一步，这一步将一个疏集上定义的函数延拓到了一个稠密集上的函数，依靠的是是的分式环；从到也是非常重要的一步，这一步将一个稠密集上的函数延拓到了一个连续集上的函数，依靠的是逼近的想法。这种方法即为法.事实上，如果附加上连续性条件，

3、我们可以得到许多函数的“特征性质”如：（1）是正比例函数或零函数（2）是指数函数或零函数（3）是对数函数或零函数（4）是幂函数或零函数53.指数运算和加法运算，乘法运算的区别乘法运算是连加法运算的推广，指数运算是连乘法运算的推广。但是同加法运算以及乘法运算相比，指数运算有一个非常大的区别，即一个幂的底数与指数的地位是不平等的。换言之，一般的因此尽管有幂指数对底数的分配律成立，即一般的，仍然有：，而这恰恰是学生的易错点学情分析：1.初中阶段，学生学习过整数指数幂，经历了从正整数指数幂到整数指数幂的推演过程，能较为熟练的运用整数指数幂的运算性质解题，但零次幂和

4、负整数指数幂为何选用该方式定义则较模糊，不够深刻。初中阶段，学生学习过平方根运算和立方根运算，对于平方根和立方根运算相关性质掌握较好，易于接受高次方根的概念。2.本班是一个普通班，纯数学的推导较为抽象，相对较难，从具体模型入手则相对容易。教学目标：知识与技能：1.了解指数模型的实际背景2.理解根式及有理指数幂的含义3.掌握有理指数幂的运算性质过程与方法：在解决简单实际问题的过程中，体会有理指数幂的含义情感态度与价值观：体验数学与生产实践的紧密联系，提高数学应用意识教学重点、难点：教学重点：分数指数幂的概念和分数指数幂的运算性质教学难点：根式的概念及分数指数

5、概念教学设计：一、课前阅读：阅读下述材料，回答问题衰变是放射性元素放射出粒子后变成另一种元素的现象。不稳定（即具有放射性）的原子核在放射出粒子及能量后，可变得较为稳定，这个过程称为衰变。放射性同位素衰变的快慢有一定的规律。例如，氡-222经过α衰变为钋-218，如果隔一段时间测量一次氡的数量级就会发现，每过3.8天就有一半的氡发生衰变。也就是说，经过第一个3.8天，剩下一半的氡，经过第二个3.8天，剩有1/4的氡；再经过3.8天，剩有1/8的氡......因此，我们可以用半衰期来表示放射性元素衰变的快慢。放射性元素的原子核有半数发生衰变所需的时间，叫做这种

6、元素的半衰期。不同的放射性元素，半衰期不同，甚至差别非常大。例如，氡-222衰变为钋-218的时间为3.8天，镭-226衰变为氡-222的时间为1620年，铀-238衰变为钍-234的半衰期竟长达4.5×109年。设计意图：创设问题情境5问题一：现有一种新的放射性物质，自然条件下每经过一年，剩余的量为一年前的量的倍。假设某时刻放射性物质的量为1，则在自然条件下：（1）1年后，剩余放射性物质的量为多少？（2）2年后，剩余放射性物质的量为多少？（3）3年后，剩余放射性物质的量为多少？（4）年后，剩余放射性物质的量为多少？为什么？问题二：现有一种新的放射性物质，

7、自然条件下每经过一年，剩余的量为一年前的量的倍。假设在自然条件下，放射性物质放置了一段时间，剩余的量为1，则：（1）若放置时间为1年，则1年前放射性物质的量为多少？（2）若放置时间为2年，则2年前放射性物质的量为多少？（3）若放置时间为3年，则3年前放射性物质的量为多少？（4）若放置时间为年，则年前放射性物质的量为多少？为什么？问题三：根据前面的回答，填写下表时间n年前…2年前1年前今年1年后2年后…N年后量1设计意图：复习整数指数幂的概念，重温负整数指数幂生成过程二、问题引入问题四：前述表达中，的取值范围是什么？问题五：现有一种新的放射性物质，自然条件下

8、每经过一年，剩余的量为一年前的量的倍。假设某时刻放射性物质的量为1