3.1.1 实数指数幂及其运算

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1、张喜林制3.1.1实数指数幂及其运算教材知识检索考点知识清单1．整数指数幂(1)正整数指数幂：一个数a的n次幂等于，即(2)正整数指数幂的运算法则：；；；(3)整数指数幂：规定：2．根式(l)n次方根：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中．(2)方根的性质：①零的任何次方根都等于0，即：③当n为奇数时，；当n为偶数时，3．分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是：为既约分数）．正数的负分数指数幂的意义是：为既约分数）(2)运算性质：其中要点核心解读1．关于分数指数幂的概念这两个式子非常相似，但差别很大，一定要注意区别．(2)关于分数指数幂需要

2、注意：①在条件下，根式都可以写成分数指数幂的形式．②引入分数指数幂的概念后，指数概念由整数指数幂扩充为有理数指数幂，③分数指数幂不可理解为个a相乘，它是根式的一种新的写法．9/92．关于指数运算问题(1)在进行根式和分数指数幂的某种综合运算时，要合理运用它们的性质和法则，数式的运算、化简、变形与求值在数学问题中占有重要的地位．(2)-般地，根式运算可以转化为分数指数幂的运算，运算的结果既可用根式表示又可用分数指数幂表示，但必须统一．(3)分数指数幂的运算常采用的思路有：①对于常量字母，先化成同底的再运算；对于变量字母，有时需要对字母进行讨论，②除式的运算，

3、用分母的“-1”次幂化为乘法运算．(4)根式的运算应该注意的几点：①注意根式的符号：a．n为奇数时，与a的符号一致；b．n为偶数时，②对根式进行运算时，一般先将根式化成分数指数幂，这样可以方便使用同底数幂的运算律．3．正整数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质的联系(1)正整数指数幂与有理数指数幂的运算性质(2)为了保证正整数指数幂的性质可以从定义直接推出，限定了m、n都是正整数，且性质②中限定m>n，为了取消m>n的限制，定义了零指数幂和负整数指数幂，在引进负整数指数幂后性质②可以归人性质①，性质⑤可以归人性质④，这样上述5条可归纳为3条，即①③④，

4、同时指数的范围扩大到了有理数，为了使②⑤对任意整数都成立，不得不规定a>0及6>0.典例分类剖析考点1整数指数幂的运算[例1]化简下列各式：[解析](1)由题目可获取以下主要信息：两个式子都是幂的乘方以及乘除混合运算。解答本题可先算乘方，后算乘除，其中0.01可写成(2)化简整数指数幂时，应先运用法则9/9以及负整数指数幂的定义，将它们化为单个的指数幂的乘积形式，再运用法则即达到化简的目的．[答案](1)原式=(2)原式=母题迁移1．化简下列各式，考点2分数指数幂的运算[例2]计算：[解析]原式=[点拨]一般地，进行指数幂的运算时，化负指数为正指数，化根式

5、为分数指数幂，化小数为分数进行计算，便于用运算性质进行乘除、乘方、开方运算，可以达到化繁为简的目的．母题迁移2．化简下列各式：考点3含指数幂的条件求值[例3]根据下列条件求值：9/9(1)已知的值；(2)已知的值．[解析](1)由两边平方得两边再平方，得又∴原式=(2)由已知得∴原式=[点拨]本题的解答过程中，灵活处理了化简过程，将已知条件待所求值的代数式比较后选择将已知条件进行处理[如(1)]或将代数式作变形处理[如(2)]．母题迁移3．已知求的值．考点4指数幂运算的综合问题[例4]化简下面的各式：[解析]根据根式与分数指数幂的互化，消去根号以及将负指数

6、幂化为正指数幂等，再利用分数指数幂的运算性质计算、化简．(1)方法一：消去负指数后解：方法二：利用运算性质解：9/9方法三：利用倒数的性质解：[点拨]根式的运算一般都转换成分数指数幂计算，当式子中含有根式与分数指数幂时应统一为分数指数幂进行计算，当根式中是具体数字时，要考虑运用配方法计算．母题迁移4．已知：对于正整数a、b、c，满足条件对于非零实数x、y、z、w，若求证：9/9优化分层测训学业水平溅试1．在中，最大的数是()．中x的取值范围是()．3．已知则x=()．9/94．将下列根式化为指数形式：；；.5．化简：;;.6．化简：高考能力测试（测试时间：

7、45分钟测试满分：100分）一、选择题（5分×8=40分）1．对任意实数a，下列等式正确的是()．2．已知则的值为()．3．计算的结果为()．4．下列结论中，正确命题的个数为()．①当a<0时，③函数的定义域为④若则5．下列各式中，运算错误的是()．6．的结果是()．9/97．计算的结果是()．8．化简的结果是()．二、填空题（5分×4=20分）9．若则10．11．12．三、解答题（10分×4=40分）13.化简：9/914.已知函数(1)证明；满足并求的单调区间；(2)分别计算的值，由此概括出涉及函数对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明．1

8、5.已知求的值．16.设且(1)求的值；(2)求的值．9/9