对变换群的认识整合

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1、对变换群的认识1．引言1.1问题的提出1.2研究的现状2.变换群的发展及利用2.1变换群的诞生背景对于变换群的诞生，是从群中经过运算所得到的。对此，要讲变换群的诞生背景，首先来看看群的诞生背景。群在现代数学以及科学中所具有的突出地位，是得对群的发明机制就行了解并作一些探讨是十分必要的。这方面的工作具有重要的方法论意义。为此,我们来讨论群的历史就显得更加重要。群的最初萌芽就是伴随着猜测的提出与论证而生发出来的。1771年，Lagrange向柏林科学院提交了“关于代数方程解法的思考”的长篇论文。在这篇论文中，Lagrange得出了一种可以推出2、3、4次方程根式解的一般性方法。对5次以下代

2、数方程那些个人色彩弄好的解法做出了统一的解释。在这里，Lagrange第一次发明了“排列”的理论，这实际上就是现代意义下“置换”的概念和方法。Lagrange的工作是非凡的。但是，当他用他的一般性方程推导5次方程的根式解时，遭到了失败。这一失败“原因可能在于还存在尚未被认识的现象。但5次以上代数方程根式解的存在值得怀疑。也许它根本就不存在。……真正有意义的是排列的理论，对它应当做更深入的研究”。Lagrange试图否定5次以上代数方程一般根式解的存在性，这是一个经过深思熟虑之后做出的、具有相当科学性的猜测。这一猜测虽然与正在研究的问题关系密切，但并不是从已有的数学事实中直接引申出来的，

3、而是为揭示某种真理所存在的某种联系的思维中所做的想象。由于他选择了一条特殊的思考路线，发现了表面上没有什么联系的问题之间所隐涵的关系并试图了解这类关系真正的、却又是隐蔽着的特性。这一高超的见识，把置换的概念和方法一下子推到了代数研究的最前沿，在此后的六、七十年代中，潜心与论证Lagrange猜测的研究者们都是沿着这条途径开掘下去的。Lagrange的猜测、论证和他独创的方法，成为群的概念的重要源泉。在以后的研究者们又经过了对猜测的论证。Ruffini于1798年写在一篇题为“方程的一般理论”的论文中，给出了“高于4次的代数方程不存在根式解法”的证明。在这些证明中Ruffini主要是继承

4、运用了Lagrange的置换的方法，并有所发展。关于置换理论的若干基本概念已在他的工作中出现，尤其是可迁群和非可迁群的概念，他已经辨识清楚了。但是Ruffini的证明本身是有缺陷的，在他的证明中有这样的结论：根式解中的根式都可表为已知方程根的有理函数。然而这正是在Ruffini的结论中需加以证明的一个核心命题。到1824年，Abel成功的证明了这个问题。并在此基础上详细论证了“5次代数方程不存在根式解”，使得Lagrange的猜测得到确认。随着Lagrange猜测的提出和Abel对这一猜测所做的论证，代数学的研究不断深入，置换由一种潜在的作用逐渐发展为代数学研究的主题。群的萌芽不断生长

5、，群的概念由朦胧而变得逐渐清晰，即将作为高次代数方程根式解问题所基于的基本结构进入数学领域。到1831年,Galois提出了现代意义下群的概念。并第一次使用了群这一术语，他用方程根的某种置换群的结构,描述了用根式构造代数方程根式解的一般原理。给出了高次代数方程根式解问题充分圆满的答案。特别地，Galois在他的工作中提出了许多群论中最基本的概念，像子群，正规子群、单群等等。为建立现代数学以致于建立整个现代数学做出了划时代的贡献。Galois发明群就是运用了直觉归纳的方法，他的头脑始终保持着一种开放性，在思想的自由驰骋中，Galois绕开前辈已经走过的路，寻求和探索先前尚未被发现的蹊径。

6、在以往的研究中已经发现，通过系数表出方程根的问题，不仅要研究对称的表达式，还要研究不对称的表达式，对这类表达式的研究意义更为深刻。Galois通过发明群，把代数学引进了一个新领域。但当时的群概念尚处在粗糙和原始的状态，也没有关于“结合性”、“可消去性(逆元)”的具体刻画。群要获得一般性的形式，还必须补充论据和进行完整的逻辑加工与整理。对于Galois的群，最有意义的是置换可以“合成”。而在其它领域内，不是置换的元素也能进行同置换的合成一样的运算并满足相似的性质。Cayley最先注意到它们之间这种在运算上的共性。1854年，他把“合成”抽象为一种一般的函数符号，使之脱离诸如“置换的合成”

7、的这样的具体状态,成为一个一般化的概念。Cagleg所定义的这个“合成”是满足结合性不满足交换性的。这在通往一般抽象群的方向上跨出了第一步。随着对抽象群概念认识过程的步步深入，Dick和Weber于1884年确立了现代意义下群的公理系统。从Galios最初发明群，到现代意义下群的公理系统的产生，是一个逐渐强化的抽象过程。首先是把“合成”从各具体对象，如置换，几何手段，旋转，数的运算中分离出来。然后，通过对“合成”最初观察到的现实性的某些层次做出