充要条件的判定及简易逻辑.doc

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1、二、充要条件的判定及简易逻辑思考：除了常见的判断充要条件的方法之外，对于这一部分的习题，我们需要关注一些什么？全称命题、存在性命题及其否定形式；四种命题及相互关系；反证法；联系其它知识的平台。预热题组：1、与命题“若mM,则nM”等价的命题是：A．若mM,则nMB．若nM,则mMC．若mM,则nMD．若nM,则mM答案：D2、“”是“x<1或x>4”的条件：A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要答案：B3、命题“若a>1，则a>0”的逆命题是____________，逆否命题是_________

2、_．答案：逆命题为：若a>0，则a>1，逆否命题为：若a0，则a14、写出命题“”的否定______．答案：5、命题“m=1”是命题“函数是二次函数”的____________条件．答案：充分不必要6、若0

3、α

4、<2且

5、β

6、<2是2

7、a

8、<4+b且

9、b

10、<4的充要条件.证明：(1）（充分性）若

11、

12、α

13、<2且

14、β

15、<2，则2

16、a

17、<4+b且

18、b

19、<4由韦达定理，得

20、b

21、=

22、α·β

23、=

24、α

25、·

26、β

27、＜2×2=4.设f(x)=x2+ax+b,则f(x)的图象是开口向上的抛物线.且两根均在之间∴f(±2)>0.即有4+b>2a>－(4+b)又

28、b

29、＜44+b>02

30、a

31、＜4+b(2)（必要性）若2

32、a

33、<4+b且

34、b

35、<4，则

36、α

37、<2且

38、β

39、<2由2

40、a

41、＜4+bf(±2)>0且f(x)的图象是开口向上的抛物线.∴方程f(x)=0的两根α，β同在(－2，2）内或无实根.∵α，β是方程f(x)=0的实根，∴α，

42、β同在(－2，2）内，即

43、α

44、＜2且

45、β

46、＜2.例2：已知p：

47、1－

48、≤2,q:x2－2x+1－m2≤0(m>0),若⌐p是⌐q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围.分析：由逆否命题与原命题同真同假可知：“⌐p是⌐q的必要而不充分条件”等价于“q是p的必要而不充分条件”，即，但q推不出p。解：由

49、1－

50、≤2，解得：由x2－2x+1－m2≤0，解得：⌐p是⌐q的必要而不充分条件，所以：，但q推不出p即，，解得：例3：已知数列{an}的前n项Sn=pn+q(p≠0,p≠1),求数列{an}是等比数列的充要条件.答案

51、：充要条件为：证明：（1）当{an}等比，公比为Q时，则有：，所以，且，即（2）当时，而，即数列等比。例4：p:－2

52、x+a

53、+b是奇函数的充要条件是()A.ab=0B.a+b=0C.a=bD.a2+b2=0答案：D，提示：

54、奇函数，则有恒成立，可求得：练习2：“a=1”是函数y=cos2ax－sin2ax的最小正周期为“π”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既非充分条件也不是必要条件答案：A，提示：y=cos2ax－sin2ax=cos2ax，最小正周期为，所以练习3：a=3是直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a－1)y=a－7平行且不重合的_________.答案：充要条件，提示：平行，则，则，但时两直线重合，所以只有时两直线平行。练习4：命题A：两曲线F(x,y)=0和G(x,y)=0相交于点P(x0

55、,y0),命题B：曲线F(x,y)+λG(x,y)=0(λ为常数)过点P(x0,y0),则A是B的__________条件.答案：充分不必要条件练习5：设α，β是方程x2－ax+b=0的两个实根，试分析a>2且b>1是两根α、β均大于1的什么条件？答案：必要不充分条件，解法同于例4。练习6：已知数列{an}、{bn}满足：bn=,求证：数列{an}成等差数列的充要条件是数列{bn}也是等差数列.证明：（必要性）等差，则等差设的首项为，公差为，则有其中，所以有：即：为常数，所以数列等差。（充分性）数列等差，则等差设

56、的首项为，公差为，则有：所以，两式做差，得：整理得：所以，为常数，所以数列等差。练习7：已知抛物线C：y=－x2+mx－1和点A(3，0)，B(0，3)，求抛物线C与线段AB有两个不同交点的充要条件.分析：就是联立方程在上有两个解。解：线段AB的方程为y=－x+3(0≤x≤3)，由于抛物线C和线段AB有两个不同的交点，所以方程组，联立方程：有两个不同的实数解。方法一：（利