不可忽略函数定义域.doc

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1、不可忽略函数定义域湖北省鄂州市梁子湖高中郑冬梅/杨庆桥老师邮编436060电话（郑13986423852或杨13451003376）函数是高中数学的主要内容，它贯穿于教材的始终。高考对函数定义域的考查常常是通过函数性质或函数应用来考查的，具有隐蔽性，所以在研究函数问题时，必须树立起“定义域优先”的观点。许多考生就是因为忽略了函数定义域而导致错误的。我现在浅谈一下在解有关函数题中定义域对解题结论的作用与影响，一．函数的解析式与定义域函数的解析式是指用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。在求函数的解析式时必须要考虑所求函数表达式的定义域，否则所求函数表达式可

2、能是错误。如：例1．某企业计划建筑一矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为200米，求矩形的面积S与矩形长x的函数表达式？解：设矩形围墙的长为x米，则宽为(100－x)米，由已知得:S=x(100-x)所以函数表达式为：S=x(100-x)如果解答到此为止，则本题的函数表达式不够完整，缺少自变量的范围。也就说学生的解题思路不够严密。如果自变量x取负数或不小于50的数时，面积S的值是一个负数，这与实际问题相矛盾，因此还需补上自变量x的取值范围。0

3、的具体的量所允许取值的范围。若注意到定义域的变化，说明学生具有解题思路的严密性。二．函数的最值与定义域函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大或最小值的问题。如果不注意定义域，将会导致最值的错误。如：例2.求函数y=-2x-4在[－1，4]上的最值．解：∵y=-2x-4=∴当时，本题结论看起来似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生变化。也就说明学生解题思维缺乏灵活性。其实以上结论只是对二次函数在上适用，而在指定的定义域区间上，它的最值应分如下情况：⑴当时，在上单调递增函数,；⑵当

4、时，在上单调递减函数,；⑶当时，在上最值情况是：，．即最大值是中最大的一个值。故本题还要继续做下去：∵∴∴∴函数y=-2x-4在[－1，4]上的最小值是－5，最大值是4．这个例子说明，在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，便体现出学生解题思维的灵活性。三．函数的值域与定义域函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。如：例3.求函数的值域．错解：令,则∴故所求的函数值域是．剖析：经换元后，应有，而函数在[0,1]上是减函数。所以当t=

5、0时，=．故所求的函数值域是．以上例子说明，变量的允许值范围是何等的重要，若能发现变量隐含的取值范围，精细地检查解题思维的过程，就可以避免以上错误结果的产生。四．函数的单调性与定义域函数的单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行。如：例4.求函数的单调区间．解：先求定义域：∵∴∴函数定义域为．令，知在上时，u为减函数，在上时，u为增函数。又∵．∴函数在上是减函数，在上是增函数。即函数的单调递增区间是，单调递减区间是。如果在做题时，没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性，就

6、说明学生对函数单调性的概念一知半解，没有理解，在做练习或作业时，只是对题型，套公式，而不去领会解题方法的实质，也说明学生的解题思维缺乏深刻性。五．函数的奇偶性与定义域判断函数的奇偶性，应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称，如果定义域区间是关于坐标原点不成中心对称，则函数就无奇偶性可谈。否则要用奇偶性定义加以判断。如：例5．判断函数的奇偶性．解：∵而∴定义域区间[－2,5]关于坐标原点不对称∴函数是非奇非偶函数．如果学生不注意函数定义域，那么判断函数的奇偶性得出如下错误结论：∵∴函数是奇函数．以上做法是由于没有判断该函数的定义域区间是否关于原

7、点成中心对称的前提下直接加以判断所造成，这是学生极易忽视的步骤，也是造成结论错误的原因。综上所述，在求解有关函数的解析式、最值或值域、单调性、奇偶性等问题中，不可忽略函数定义域有无改变(指对定义域为R来说)，否则解题结果就有问题。