2、dai）项描述传热，（Yaidei}项描述做功。//6.对粒子数守恒的玻色系统，温度下降会使粒子的化学势（升高）；如果温度足够低，则会发生（玻色一一爱因斯坦凝聚）。这吋系统的能量Uo=（0），压强po=（0），摘So=（0）of=+/?2+/?:2）+似2+bx7.已知粒子遵从经典玻尔兹曼分布，其能S表达式为2m，粒子的平均能ft为（2kT—b2/4a）。8.当温度（很低）或粒子数密度（很大）吋，玻色系统与费米系统的量子关联效应会很强。9.如果系统的分布函数为Ps，系统在壘子态s的能量为Es，用口：和Es表示：系统的平均能量为（E=^psEs）,能量涨落为S（［a（£s-£）2）（如写成
3、互2-（局2也得分）。S10.与宏观平衡态对应的是稳定系综，稳定系综的分布函数Ps具有特点（dps/dt=o或与时间无关等同样的意思也得分），同时Ps也满足归一化条件。二.计算证明题（每题10分，共60分）1.假定某种类型分子（设粒子可以分辨）的许可能及为0,0）,2w，30），。。。，而且都是非简并的，如果系统含有6个分子，fub（1）与总能S3w相联系的分布是什么样的分布？分布需要满足的条件是什么？（2）根据公式叫M=计算每种分布的微观态数an^!/（3）确定各种分布的概率。解：能级：S1,£2,C3,£4能量值：0,Ob2w,3a),简并度：1,1,1,1,分布数：ai,a2,as
4、,a4,分布{A；}要满足的条件为：^at=N=6Ial£i=E=3coi满足上述条件的分布有：A:{rzj={5,0,0,1,0,...}B：沁}={4，1，1，0,0”..}C:{czj={3,3,0,0,0”.Jxl=6;45!xl!6f各分布对应的微观态数为：——一xl=30;14!xl!xl!6»=—-xl=20c3!x3!所有分布总的微观态数为：D4-Q^+Qc=6+30+20=56pA—QA/Q=6/56=0.107;各分布对应的概率为：仏=%/Q=30/56=0.536;pc=Qc/Q=20/56=0.357;1.表面活性物质的分子在液面（面积为A）上做二维自由运动，可以
5、看作二维理想气体，设粒子的质量为m,总粒子数为N。（1）求单粒子的配分函数Z1;（2）在平衡态，按玻尔兹曼分布率，写出位罝在x到x+dx，y到y+dy内，动量在px到Px+中x，Py到Py+中y内的分子数dN;（3）写出分子按速度的分布；（4）写出分子按速率的分布。解：（1）单粒子的配分函数去J瓜斤人力也W池來^（2）dN二C—⑽、dxdydP、dP、、N什dxdydp'dp'h2Z,h2（3）将（1）代入（2）,并对dxdy积分，得分子按速度的分布为必％=斤（^^>_*（'.2+1；2；«爪、./72-/71-^―（4）有（3）可得分子按速率的分布为：2ttN（）e2kTvdv=N（—
6、—）e2kTvdv2/rkTkT2.定域系含有N个近独立粒子，每个粒子有两个非简并能级e
7、=—e（），e2=e0,其屮so大于零且为外参量y的函数。求:（1）温度为T时处于激发态的粒子数与处于基态的粒子数之比，并说明在极端商温和极端低温时粒子数比的特点；（2）系统的内能和热容量；（3）极端尚温和极端低温时系统的熵。解：（1）单粒子的配分函数为：Z
8、=Xe~^e,=e~^}+e~p£l=+e~^处于基态的粒子数力：TV,处于激发态的粒子数为:-Ne—批、e—阿'一kekT极端高温时：So《kT，—-1,即处于激发态的粒子数与处于基态的粒子数基本相同;TV,极端低温时：s«》kT，^-0,即
9、粒子儿乎全部处于基态N9In7厂彪，⑵系统的内能：U=-N-^=-N-ln（^+热容量：Cv=^)v=-^^)v=dTkT2d/31-(-e^eSe%（3）极端高温时系统的熵：S=kinil=k2N=Nk2极端低温时系统的熵：S=04.对弱简并的非相对论费米气体，求：（1）粒子数分布的零级近似fn与一级修正项△fi;（2）证明：与零级近似相比，粒子数的相对修正量和内能的相对修正量均正比于e1解：费米气体分布函数为：/=1-
