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1、江苏省盐城市2010/2011学年度高三年级第一次调研考试数学试题参考答案一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分.1.2.3.4.55.6.617.8.9.10.811.②④12.13.414.9二、解答题:本大题共6小题,计90分.15.解:(Ⅰ)因为,所以………………6分(Ⅱ)因为为等边三角形,所以,所以…………10分同理,,故点的坐标为…………………14分16.(Ⅰ)证明:因为、分别为、的中点,所以……………4分而,所以直线∥平面…………………………7分(Ⅱ)因为三棱柱为直三棱柱,所以,又,而,,
2、且,所以……11分又,所以平面⊥平面………………………………………14分17.解:(Ⅰ)因为,即,所以抛物线C的方程为…2分设⊙M的半径为,则,所以的方程为………5分(Ⅱ)设,则=…8分所以当时,有最小值为2……………………………………………10分(Ⅲ)以点Q这圆心,QS为半径作⊙Q,则线段ST即为⊙Q与⊙M的公共弦…………11分设点,则,所以⊙Q的方程为…13分从而直线QS的方程为(*)…………………………………………14分因为一定是方程(*)的解,所以直线QS恒过一个定点,且该定点坐标为…16分18.解:(Ⅰ)
3、因为,所以……………………………………1分则当时,由,解得,所以此时………………………3分当时,由,解得,所以此时…………………………5分综合,得,若一次投放4个单位的制剂,则有效治污时间可达8天………………6分(Ⅱ)当时,……………………………9分==,因为,而,所以,故当且仅当时,y有最小值为…………12分令,解得,所以的最小值为………14分19.解:(Ⅰ)据题意得,所以成等差数列,故……4分(Ⅱ)当时,数列成等比数列;当时,数列不为等比数列…………5分理由如下:因为,所以,故当时,数列是首项为1,公比为等比数
4、列;当时,数列不成等比数列……………………………………………………9分(Ⅲ)当时,,………………10分因为=()……………………………12分,,设,则,,且,在递增,且,仅存在惟一的使得成立………………………………………16分20.解:(Ⅰ)当,时,,所以在递增,所以……………………………………4分(Ⅱ)①当时,,,,恒成立,在上增函数,故当时,………………………………5分②当时,,,(i)当即时,在时为正数,所以在区间上为增函数,故当时,,且此时………………………………7分(ii)当,即时,在时为负数,在间时为正
5、数,所以在区间上为减函数,在上为增函数,故当时,,且此时…………………8分(iii)当,即时,在时为负数,所以在区间[1,e]上为减函数,故当时,……………………………………………………9分综上所述,函数的最小值为………………10分所以当时,得;当()时,无解;当()时,得不成立.综上,所求的取值范围是…………………………………11分(Ⅲ)①当时,在单调递增,由,得…………………………………………………………12分②当时,在先减后增,由,得,设,,所以单调递增且,所以恒成立得…………14分yax③当时,在递增,在递
6、减,在递增,所以由,得,设,则,所以递增,且,所以恒成立,无解.④当时,在递增,在递减,在递增,所以由得无解.综上,所求的取值范围是……………………16分数学附加题部分21.A.证明:连结OF,因为DF切⊙O于F,所以∠OFD=90°,所以∠OFC+∠CFD=90°.因为OC=OF,所以∠OCF=∠OFC,又因为CO⊥AB于O,所以∠OCF+∠CEO=90°………………………………………………………………………5分所以∠CFD=∠CEO=∠DEF,所以DF=DE,因为DF是⊙O的切线,所以DF2=DB·DA.所以D
7、E2=DB·DA………………………………………………………………………………10分B.解:特征多项式………………………3分由,解得……6分将代入特征方程组,得,可取为属于特征值1=1的一个特征向量………………………………8分同理,当时,由,所以可取为属于特征值的一个特征向量.综上所述,矩阵有两个特征值;属于的一个特征向量为,属于的一个特征向量为…………………………………………………………10分C.解:(Ⅰ)曲线的极坐标方程可化为…………………………………2分又,所以曲线的直角坐标方程为…………4分(Ⅱ)将直线l的参
8、数方程化为直角坐标方程,得…………………………6分令,得,即点的坐标为(2,0).又曲线为圆,圆的圆心坐标为(1,0),半径,则……………………………………………………………………8分所以………………………………………………………………10分D.因为,所以,所以要证,即证,即证,即证,而显然成立,故……………10分22.解:(Ⅰ)令,得=………………4分(Ⅱ