有关对角矩阵的证明与应用论

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1、本科生毕业论文设计有关对角矩阵的证明与应用作者姓名：指导教师：所在学院：数学与信息科学学院专业（系）：数学与应用数学班级（届）：2013届数学C班二〇一三年五月一日有关对角矩阵的证明与应用摘要：矩阵的对角化是反映矩阵性质的一个重要概念,不论是对数学专业学生学习高等代数还是非数学专业学生学习线性代数而言学习和理解它的含义都是十分必要的。通过本篇论文主要研究矩阵的对角化的有关问题,总结了矩阵对角化的运算,性质,求法,以及在解决高等代数，常微分方程、空间解析几何的问题中所渗透的一些与矩阵对角化相关的知识,使得对矩阵的对角化有了更加深刻的理解

2、与认识,从而能够更加灵活运用相关知识解决相关问题.关键词:矩阵的对角化特征值特征向量1有关对角矩阵的证明1.1有关对角矩阵的分解第一种情况：对任意一个n级矩阵A的顺序主子式都不等于零，我们可以利用初等变换将其化为一个上三角矩阵，即A等于一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。而每一个上（下）三角矩阵又等于一个单位上（下）三角矩阵和一个对角阵的乘积。利用以上结论可以证明一些例题。例1：设n级矩阵A的顺序主子式都不等于零，则A可以唯一的分解成A=LDU的形式，其中L为单位下三角矩阵（对角线元素都是1的下三角矩阵），D为对角矩阵，U为单位上三

3、角矩阵。证明：令A=，由于n级矩阵A的顺序主子式都不等于零故a11≠0，用-ai1/a11(i=2,3,…)乘以第一行依次加到以下各行，又由于A的顺序主子式都不等于零，则a22′≠0，依次往下消零，相当于A进行一系列初等变换得到一个上三角矩阵。A=PQ,P为一系列初等下三角矩阵之积仍为下三角矩阵，Q为最后A经变化所得的阶梯形上三角矩阵。令P=，Q=.下面用数学归纳法证明上面A可以分解成A=PQ的形式是正确的。⑴当n=1时，A=PQ显然正确。⑵假设当A为n-1阶矩阵时结论成立，则当A为n阶矩阵时有A=。其中A1=P1Q1，P1为下三角矩

4、阵，Q1为上三角矩阵。A==.=。令=，=Q，则为下三角矩阵从而p也为下三角矩阵，Q为上三角矩阵。那么A=PQ。P==，Q==.令L=，D=，U=。则A=LDU其中L为单位下三角矩阵（对角线元素都是1的下三交矩阵），D为对角矩阵，U为单位上三角矩阵。下证A=LDU分解的唯一性。假设又有A=也满足分解条件，则LDU=，LDU=,L=,由于等式左边是单位下三角矩阵等式右边是单位上三角矩阵，故L=E,即L=。同理，U=。从而D=。唯一性得证。第二种情况：利用分块矩阵和若A可对角化则存在可逆阵T使A=T，我们可以证明一些有关矩阵分解的问题。例

5、2：设A是n×n方阵，A有k个不同的特征值….证明：若A可对角化，则必存在n×n幂等阵,…,,使得（1）=0（i≠j）；（2）（是n×n单位阵）；（3）A=。证：（1）由于A可对角化，因此存在可逆阵T，使A=T，其中，…,均为，…,阶单位阵，且++…+=n。令=T，（i=1,2，…,k）,则=，（i=1,2，…,k），此即为幂等阵。且=0（i≠j）。（2）=T=T=。（3）=T=A。1.2证明一个矩阵可对角化矩阵相似对角化的定义：所谓矩阵相似对角化是指矩阵和某对角形矩阵相似。定理1：n阶矩阵A与对角矩阵相似（即A可对角化）的充分必要条

6、件是A有n个线性无关的特征向量。定理2：设A为n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P，使=，其中是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵。定理3：若A的每一个特征值的几何重数和她的代数重数相等，则A可对角化。第一种情况：用定理1来做下面证明题。例3：设n阶方阵A满足=A,且r（A）=r

7、)≥r(A+E-A)=r(E)=n故有r（A）+r(A-E)=n。于是，由题设条件r（A）=r

8、n个互异特征值为，则存在n阶可逆矩阵P，使得AP==∧。由题设AB=BA，有AB=BAP，即（AP）（BP）=（BP）(AP),也即∧（BP）=（BP）∧。设D=BP=，则由∧D=D∧得=，即（-）=0.于是由≠（i≠j