有关对角矩阵的证明与应用毕业论文

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1、有关对角矩阵的证明与应用毕业论文1有关对角矩阵的证明1.1有关对角矩阵的分解第一种情况：对任意一个n级矩阵A的顺序主子式都不等于零，我们可以利用初等变换将其化为一个上三角矩阵，即A等于一个下三角矩阵和一个上三角矩阵的乘积。而每一个上（下）三角矩阵又等于一个单位上（下）三角矩阵和一个对角阵的乘积。利用以上结论可以证明一些例题。例1：设n级矩阵A的顺序主子式都不等于零，则A可以唯一的分解成A=LDU的形式，其中L为单位下三角矩阵（对角线元素都是1的下三角矩阵），D为对角矩阵，U为单位上三角矩阵。证明：令A=，由于n级矩

2、阵A的顺序主子式都不等于零故a11≠0，用-ai1/a11(i=2,3,…)乘以第一行依次加到以下各行，又由于A的顺序主子式都不等于零，则a22′≠0，依次往下消零，相当于A进行一系列初等变换得到一个上三角矩阵。A=PQ,P为一系列初等下三角矩阵之积仍为下三角矩阵，Q为最后A经变化所得的阶梯形上三角矩阵。令P=，Q=.下面用数学归纳法证明上面A可以分解成A=PQ的形式是正确的。⑴当n=1时，A=PQ显然正确。⑵假设当A为n-1阶矩阵时结论成立，则当A为n阶矩阵时有A=。其中A1=P1Q1，P1为下三角矩阵，Q1为上

3、三角矩阵。A=24=.=。令=，=Q，则为下三角矩阵从而p也为下三角矩阵，Q为上三角矩阵。那么A=PQ。P==，Q==.令L=，D=，U=。则A=LDU其中L为单位下三角矩阵（对角线元素都是1的下三交矩阵），D为对角矩阵，U为单位上三角矩阵。下证A=LDU分解的唯一性。假设又有A=也满足分解条件，则LDU=，LDU=,L=,由于等式左边是单位下三角矩阵等式右边是单位上三角矩阵，故L=E,即L=。同理，U=。从而D=。唯一性得证。第二种情况：利用分块矩阵和若A可对角化则存在可逆阵T使A=T，我们可以证明一些有关矩阵分

4、解的问题。例2：设A是n×n方阵，A有k个不同的特征值….证明：若A可对角化，则必存在n×n幂等阵,…,,使得（1）=0（i≠j）；（2）（是n×n单位阵）；（3）A=。24证：（1）由于A可对角化，因此存在可逆阵T，使A=T，其中，…,均为，…,阶单位阵，且++…+=n。令=T，（i=1,2，…,k）,则=，（i=1,2，…,k），此即为幂等阵。且=0（i≠j）。（2）=T=T=。（3）=T=A。241.2证明一个矩阵可对角化矩阵相似对角化的定义：所谓矩阵相似对角化是指矩阵和某对角形矩阵相似。定理1：n阶矩阵A与

5、对角矩阵相似（即A可对角化）的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。定理2：设A为n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P，使=，其中是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵。定理3：若A的每一个特征值的几何重数和她的代数重数相等，则A可对角化。第一种情况：用定理1来做下面证明题。例3：设n阶方阵A满足=A,且r（A）=r

6、-E)≤n.又有r（A）+r(A-E)=r（A）+r(E-A)≥r(A+E-A)=r(E)=n故有r（A）+r(A-E)=n。于是，由题设条件r（A）=r

7、n阶方阵A的n个特征值互异，又设n阶方阵B满足AB=BA，证明B可对角化。证：设A的n个互异特征值为，则存在n阶可逆矩阵P，使得AP==∧。由题设AB=BA，有AB=BAP，即（AP）（BP）=（BP）(AP),也即∧（BP）=（BP）∧。设D=BP=，则由∧D=D∧得=，即（-）=0.于是由≠（i≠j）知=0（i≠j）即D=，故B可对角化。例5：证明：n阶方阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是对每个数w，由可以导出，其中E是单位方阵，x是n维列向量。证：是的解空间，是的解空间，条件“可以导出”的含义是但总有。因此本

8、体可改为n阶方阵A相似于对角矩阵的充分必要条件是对每个数w，总有=。24先证必要性。设。其中，…,为A的全部特征值。当w≠（i=1,2，…,n）时，T=。从而T=。所以秩=秩，于是=n-秩=n-秩=。而，从而=。当（还可能有多重特征值。证法类似）时，有T=。从而T=仍有秩=秩。所以=即=。再证充分性。设=。用反证法，若A不相似于对角矩阵，一定存在若当性矩阵J