高考数学基本不等式_1

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1、第6章第3课时(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)一、选择题1．已知f(x)＝x＋－2(x＜0)，则f(x)有(　　)A．最大值为0B．最小值为0C．最大值为－4D．最小值为－4解析：　∵x＜0，∴－x＞0，∴x＋－2＝－－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x＝，即x＝－1时等号成立．答案：　C2．若x＋2y＝4，则2x＋4y的最小值是(　　)A．4B．8C．2D．4解析：　∵2x＋4y≥2·＝2·＝2·＝8，当且仅当2x＝22y，即x＝2y＝2时取等号，∴2x＋4y的最小值为8.答案：　B3．已知x＞1，y＞1，且lnx，，l

2、ny成等比数列，则xy(　　)A．有最大值eB．有最大值C．有最小值eD．有最小值解析：　∵x＞1，y＞1，且lnx，，lny成等比数列，∴lnx·lny＝≤2，∴lnx＋lny≥1⇒xy≥e.答案：　C4．函数y＝(x＞1)的最小值是(　　)A．2＋2B．2－2C．2D．2解析：　∵x＞1，∴x－1＞0，∴y＝＝＝＝＝x－1＋＋2≥2·＋2＝2＋2，当且仅当x－1＝，即x＝1＋时，取等号．答案：　A5．(2011·北京东城联考)要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为10，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为(　　)A

3、．50B．25C．50D．100解析：　设矩形的长和宽分别为x、y，则x2＋y2＝100.于是S＝xy≤＝50，当且仅当x＝y时等号成立．答案：　A6．(2011·东北三校第一次联考)已知正项等比数列{an}满足：a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an使得＝4a1，则＋的最小值为(　　)A.B.C.D．不存在解析：　设正项等比数列{an}的公比为q，由a7＝a6＋2a5，得q2－q－2＝0，解得q＝2.由＝4a1，得2m＋n－2＝24，即m＋n＝6.故＋＝(m＋n)＝＋≥＋＝，当且仅当n＝2m时等号成立．答案：　A二、填空题7．若2y

4、＋4x＝xy(x＞0，y＞0)，则xy的最小值为________．解析：　2≤2y＋4x＝xy(x＞0，y＞0)，∴xy≥32.答案：　328．(2011·南京模拟)若logmn＝－1，则3n＋m的最小值是________．解析：　∵logmn＝－1，∴m－1＝n，∴mn＝1，∵n＞0，m＞0且m≠1，∴3n＋m≥2＝2.答案：　29．已知函数f(x)＝x＋(p为常数，且p＞0)，若f(x)在(1，＋∞)上的最小值为4，则实数p的值为________．解析：　由题意得x－1＞0，f(x)＝x－1＋＋1≥2＋1，当且仅当x＝＋1时，取等号

5、，则2＋1＝4，解得p＝.答案：　三、解答题10．(1)求函数y＝x(a－2x)(x＞0，a为大于2x的常数)的最大值；(2)当点(x，y)在直线x＋3y－4＝0上移动时，求表达式3x＋27y＋2的最小值．【解析方法代码108001077】解析：　(1)∵x＞0，a＞2x，∴y＝x(a－2x)＝×2x(a－2x)≤×2＝，当且仅当x＝时取等号，故函数的最大值为.(2)由x＋3y－4＝0得x＋3y＝4，∴3x＋27y＋2＝3x＋33y＋2≥2·＋2＝2·＋2＝2·＋2＝20，当且仅当3x＝33y且x＋3y－4＝0，即x＝2，y＝时取等号

6、成立．11．已知lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)．(1)求xy的最小值；(2)求x＋y的最小值．【解析方法代码108001078】解析：　由lg(3x)＋lgy＝lg(x＋y＋1)得(1)∵x＞0，y＞0，∴3xy＝x＋y＋1≥2＋1，∴3xy－2－1≥0，即3()2－2－1≥0，∴(3＋1)(－1)≥0，∴≥1，∴xy≥1，当且仅当x＝y＝1时，等号成立．∴xy的最小值为1.(2)∵x＞0，y＞0，∴x＋y＋1＝3xy≤3·2，∴3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0，∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0，∴x＋y≥2

7、，当且仅当x＝y＝1时取等号，∴x＋y的最小值为2.12．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形的休闲区A1B1C1D1和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米，人行道的宽分别为4米和10米(如图)．(1)若设休闲区的长和宽的比＝x，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式；(2)要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计？解析：　(1)设休闲区的宽B1C1为a米，则其长A1B1为ax米．∴a2x＝4000，得a＝，∴S＝(a＋8)(

8、ax＋20)＝a2x＋(8x＋20)a＋160＝4000＋(8x＋20)·＋160＝80＋4160(x＞1)．(2)S≥1600＋4160＝5760，当且仅当2＝，即x＝2.5时取等号，即当x＝2.5时，公