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时间:2018-12-09
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1、第6章第3课时(本栏目内容,在学生用书中以活页形式分册装订!)一、选择题1.已知f(x)=x+-2(x<0),则f(x)有( )A.最大值为0B.最小值为0C.最大值为-4D.最小值为-4解析: ∵x<0,∴-x>0,∴x+-2=--2≤-2-2=-4,当且仅当-x=,即x=-1时等号成立.答案: C2.若x+2y=4,则2x+4y的最小值是( )A.4B.8C.2D.4解析: ∵2x+4y≥2·=2·=2·=8,当且仅当2x=22y,即x=2y=2时取等号,∴2x+4y的最小值为8.答案: B3.已知x>1,y>1,且lnx,,l
2、ny成等比数列,则xy( )A.有最大值eB.有最大值C.有最小值eD.有最小值解析: ∵x>1,y>1,且lnx,,lny成等比数列,∴lnx·lny=≤2,∴lnx+lny≥1⇒xy≥e.答案: C4.函数y=(x>1)的最小值是( )A.2+2B.2-2C.2D.2解析: ∵x>1,∴x-1>0,∴y=====x-1++2≥2·+2=2+2,当且仅当x-1=,即x=1+时,取等号.答案: A5.(2011·北京东城联考)要设计一个矩形,现只知道它的对角线长度为10,则在所有满足条件的设计中,面积最大的一个矩形的面积为( )A
3、.50B.25C.50D.100解析: 设矩形的长和宽分别为x、y,则x2+y2=100.于是S=xy≤=50,当且仅当x=y时等号成立.答案: A6.(2011·东北三校第一次联考)已知正项等比数列{an}满足:a7=a6+2a5,若存在两项am,an使得=4a1,则+的最小值为( )A.B.C.D.不存在解析: 设正项等比数列{an}的公比为q,由a7=a6+2a5,得q2-q-2=0,解得q=2.由=4a1,得2m+n-2=24,即m+n=6.故+=(m+n)=+≥+=,当且仅当n=2m时等号成立.答案: A二、填空题7.若2y
4、+4x=xy(x>0,y>0),则xy的最小值为________.解析: 2≤2y+4x=xy(x>0,y>0),∴xy≥32.答案: 328.(2011·南京模拟)若logmn=-1,则3n+m的最小值是________.解析: ∵logmn=-1,∴m-1=n,∴mn=1,∵n>0,m>0且m≠1,∴3n+m≥2=2.答案: 29.已知函数f(x)=x+(p为常数,且p>0),若f(x)在(1,+∞)上的最小值为4,则实数p的值为________.解析: 由题意得x-1>0,f(x)=x-1++1≥2+1,当且仅当x=+1时,取等号
5、,则2+1=4,解得p=.答案: 三、解答题10.(1)求函数y=x(a-2x)(x>0,a为大于2x的常数)的最大值;(2)当点(x,y)在直线x+3y-4=0上移动时,求表达式3x+27y+2的最小值.【解析方法代码108001077】解析: (1)∵x>0,a>2x,∴y=x(a-2x)=×2x(a-2x)≤×2=,当且仅当x=时取等号,故函数的最大值为.(2)由x+3y-4=0得x+3y=4,∴3x+27y+2=3x+33y+2≥2·+2=2·+2=2·+2=20,当且仅当3x=33y且x+3y-4=0,即x=2,y=时取等号
6、成立.11.已知lg(3x)+lgy=lg(x+y+1).(1)求xy的最小值;(2)求x+y的最小值.【解析方法代码108001078】解析: 由lg(3x)+lgy=lg(x+y+1)得(1)∵x>0,y>0,∴3xy=x+y+1≥2+1,∴3xy-2-1≥0,即3()2-2-1≥0,∴(3+1)(-1)≥0,∴≥1,∴xy≥1,当且仅当x=y=1时,等号成立.∴xy的最小值为1.(2)∵x>0,y>0,∴x+y+1=3xy≤3·2,∴3(x+y)2-4(x+y)-4≥0,∴[3(x+y)+2][(x+y)-2]≥0,∴x+y≥2
7、,当且仅当x=y=1时取等号,∴x+y的最小值为2.12.某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由长方形的休闲区A1B1C1D1和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图).(1)若设休闲区的长和宽的比=x,求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解析式;(2)要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计?解析: (1)设休闲区的宽B1C1为a米,则其长A1B1为ax米.∴a2x=4000,得a=,∴S=(a+8)(
8、ax+20)=a2x+(8x+20)a+160=4000+(8x+20)·+160=80+4160(x>1).(2)S≥1600+4160=5760,当且仅当2=,即x=2.5时取等号,即当x=2.5时,公
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