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1、高考中常用的数学方法------配方法、待定系数法、换元法一、知识整合配方法、待定系数法、换元法是几种常用的数学基本方法.这些方法是数学思想的具体体现,是解决问题的手段,它不仅有明确的内涵,而且具有可操作性,有实施的步骤和作法.配方法是对数学式子进行一种定向的变形技巧,由于这种配成“完全平方”的恒等变形,使问题的结构发生了转化,从中可找到已知与未知之间的联系,促成问题的解决.常见的配方形式如下：a＋b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab；a＋ab＋b＝(a＋b)－ab＝(a－b)＋3ab＝(a＋)＋（b）；a＋b＋c＋ab
2、＋bc＋ca＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]a＋b＋c＝(a＋b＋c)－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)－2(ab－bc－ca)＝…1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）；x＋＝(x＋)－2＝(x－)＋2；……等等。待定系数法的实质是方程的思想,这个方法是将待定的未知数与已知数统一在方程关系中,从而通过解方程(或方程组)求得未知数.比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的
3、方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。换元法是一种变量代换,它是用一种变数形式去取代另一种变数形式,从而使问题得到简化,换元的实质是转化.换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4＋2－2≥0，先变形为设2＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代
4、数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝＋的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sinα，α∈[0,]，问题变成了熟悉的求三角函数的值域。又如变量x、y适合条件x＋y＝r（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝＋t，y＝－t等等。换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。二、例题解析例1．已知长方体的全面积为11,其12条棱的长度之和为24,则这个长方体的一条对角线长为().(A)(B)(C)5(
5、D)6分析及解：设长方体三条棱长分别为x,y,z,则依条件得：2(xy+yz+zx)=11,4(x+y+z)=24.而欲求的对角线长为,因此需将对称式写成基本对称式x+y+z及xy+yz+zx的组合形式,完成这种组合的常用手段是配方法.故=62-11=25∴,应选C.例2．设F1和F2为双曲线的两个焦点,点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°,则ΔF1PF2的面积是().(A)1(B)(C)2(D)分析及解：欲求(1),而由已知能得到什么呢？由∠F1PF2=90°,得(2),又根据双曲线的定义得
6、PF1
7、-
8、PF2
9、=4(3
10、),那么(2)、(3)两式与要求的三角形面积有何联系呢？我们发现将(3)式完全平方,即可找到三个式子之间的关系.即,故∴,∴选(A).注：配方法实现了“平方和”与“和的平方”的相互转化.例3．设双曲线的中心是坐标原点,准线平行于x轴,离心率为,已知点P(0,5)到该双曲线上的点的最近距离是2,求双曲线方程.分析及解：由题意可设双曲线方程为,∵,∴a=2b,因此所求双曲线方程可写成：(1),故只需求出a可求解.设双曲线上点Q的坐标为(x,y),则
11、PQ
12、=(2),∵点Q(x,y)在双曲线上,∴(x,y)满足(1)式,代入(2)得
13、
14、PQ
15、=(3),此时
16、PQ
17、2表示为变量y的二次函数,利用配方法求出其最小值即可求解.由(3)式有(y≥a或y≤-a).二次曲线的对称轴为y=4,而函数的定义域y≥a或y≤-a,因此,需对a≤4与a>4分类讨论.(1)当a≤4时,如图(1)可知函数在y=4处取得最小值,∴令,得a2=4∴所求双曲线方程为.(2)当a>4时,如图(2)可知函数在y=a处取得最小值,∴令,得a2=49,∴所求双曲线方程为.注：此题是利用待定系数法求解双曲线方程的,其中利用配方法求解二次函数的最值问题,由于二次函数的定义域与参数a有关,因此需对字母
18、a的取值分类讨论,从而得到两个解,同学们在解答数习题时应学会综合运用数学思想方法解题.例4．设f(x)是一次函数,且其在定义域内是增函数,又,试求f(x)的表达式.分析及解：因为此函数的模式已知,故此题需用待定系数法求出函数表达式.设一次函数y=f(x)=ax+b(a>0),
