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1、哈尔滨师范大学学 年 论 文题目有关线性变换的运算及其应用学生指导教师年级2010级专业数学与应用数学系别数学系学院数学科学学院哈尔滨师范大学2012年11月10论文提要在以前的学习中已经提到向量空间之间的同构,刻画了这两个空间的某种本质的一致.或者说,它们有相同的代数结构.向量空间之间的同构映射首先要求是双射.然而有大量的向量空间之间的映射存在,它们虽然不是双射,但也保持加法与数量乘法的对应关系.这种映射将被成为线性映射.它们是更广泛的,因而也是最基本的映射.本文我们将在线性映射的基础上讨论线性变换及其基本运算,并把线性变换
2、与矩阵联系起来,讨论线性变换的本征值与本征向量.进一步研究一个阶矩阵什么时候与一个对角形矩阵相似的问题.10有关线性变换的运算及其应用摘要:在数学里,变换的概念是非常基础的.例如,在解析几何里,经常要用到坐标的变换;在数学分析里,经常要用到变量的代换.所谓变换,实质上就是一个映射.线性代数里,我们主要考虑的是一个向量空间到自身的一种特定的映射,称为线性变换.关键词:线性映射线性变换本征值与本征向量对角形矩阵一线性映射设是一个数域,和是上向量空间.定义1设是到的一个线性映射.如果下列条件被满足,就称是到的一个线性映射;(i)对于
3、任意;(ii)对于任意.例1对于的每一向量=()定义,是到的一个映射.我们证明,是一个线性映射.(i)设=(),是的任意两个向量.我们有.(ii)设我们有.因此是到的一个线性映射.二线性变换及运算1定义令是数域上一个向量空间.到自身的一个线性映射叫做的一个线性变换.2运算设是数域上的向量空间,,是的两个线性变换.(1)线性运算:101)与的和定义为2)中的数与的数量乘法定义为3)的负变换4)向量空间上的线性变换的全体,对于如上定义的加法与数乘运算构成数域上的向量空间,即①仍是线性变换;②仍是线性变换;③;④;⑤;⑥;⑦;⑧;⑨
4、;⑩.⑵乘法:1)与的乘积定义为2)线性变换的乘法满足如下性质及运算律:①仍是线性变换;②;③,;④;⑤.注乘法交换律一般不成立,即一般的.⑶逆变换:1)对线性变换,如果存在的变换使得则称是可逆的,并称是的逆变换,记为.2)如果线性变换可逆,则也是线性变换.3)线性变换可逆的充分必要条件是为双射.(4)多项式:1)个(是正整数)线性变换的乘积称为的次幂,记为,即10规定.当线性变换可逆时,规定2)设,定义称之为线性变换的多项式.1)方幂运算有如下的运算律：①②一般说来,.2)如果,且则特别的.三线性变换的本征值与本征向量1定义
5、设是数域上一个向量空间.是的一个线性变换.定义2设是中的一个数,如果存在中非零向量,使得.那么就叫做的一个本征值,而叫做的数域本征值的一个本征向量.定义3设是数域上一个阶矩阵.行列式叫做矩阵的特征多项式.定义4我们把阶矩阵的特征多项式在复数域内的根叫做矩阵的特征根.设是矩阵的一个特征根,那么齐次线性方程组的一个非零解叫做矩阵的属于特征根的一个特征向量.102求解步骤设是数域上维向量空间,是中的线性变换,求的本征值与本征向量步骤如下:第一步取的一组基求在该基下得矩阵;第二步求矩阵在数域中的特征值,即为的本征值;第三步求解齐次线性
6、方程组的非零解,其非零解是的属于本征值的本征向量关于此基的坐标.3例题例2设上三维向量空间的线性变换关于一个基的矩阵是.求的本征值和相应的本征向量.解:先写出矩阵的特征多项式.它只有一个实根.为了求出属于特征根的特征向量,我们需要解齐次线性方程组即.这个方程组的解是,.因此,的属于本征值4的本征向量是四可以对角化的矩阵1定义定义5设是数域上维向量空间的一个线性变换.如果存在的一个基,使得关于这个基的矩阵具有对角形式10,(1)那么就说,可以对角化.类似的,设是数域上一个阶矩阵.如果存在上一个阶可逆矩阵,使得具有对角形式(1),
7、那么就说矩阵可以对角化.2矩阵可对角化的充要条件定理1令是数域上维向量空间的一个线性变换,可以对角化的充分且必要条件是(i)的特征多项式的根都在内；（ii）对于的特征多项式的每一根,本征子空间的维数等于的重数.证：设条件(i),(ii)成立.令,是的一切不同的的本征值.它们的重数分别是,我们有,.在每一个本征子空间里选取一个基.易知线性无关,因而构成的一个基.关于这个基的矩阵是对角形式:.(2)反过来,设可以对角化,那么有一个由的本征向量锁组成的基.适当排列这一组基向量的次序,可以假定这个基是而关于这个基的矩阵是对角形(2).
8、于是的特征多项式.因此的特征多项式的根都在内,并且的重数等于然而基向量显然是本征子空间的线性无关的向量,所以但.因此.10设上维向量空间的一个线性变换关于某一个基的矩阵是,而是的一个本征值.那么齐次线性方程组的一个基础解系给出了本征子空间的一个基,即基础解系的每一个解向量给出
