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1、《数学实验》课程综合实验奶制品加工问题一、问题重述一奶制品加工厂用牛奶生产A1,A2两种初级奶制品，它们可以直接出售，也可以分别深加工成B1,B2两种高级奶制品再出售。按目前技术每桶牛奶可加工成2公斤A1和3公斤A2,每桶牛奶的买入价为10元，加工费为5元，加工时间为15小时。每公斤A1可深加工成0.8公斤B1，加工费为4元，加工时间为12小时；每公斤A2可深加工成0.7公斤B2，加工费为3元，加工时间为10小时；初级奶制品A1,A2的售价分别为每公斤10元和9元，高级奶制品B1,B2的售价分别为每公斤
2、30元和20元，工厂现有的加工能力每周总共2000小时，根据市场状况，高级奶制品的需求量占全部奶制品需求量的20%至40%。试在供需平衡条件下为该厂制订（一周的）生产计划，使利润最大，并进一步讨论如下问题：1）拨一笔资金用于技术革新，据估计可实现下列革新中的某一项：总加工能力提高10%，各项加工费用均减少10%。初级奶制品A1，A2的产量提高10%；高级奶制品B1，B2的产量提高10%。问应将资金用于哪一项革新，这笔资金的上限（对于一周而言）应为多少？2）该厂的技术人员又提出一项技术革新，将原来的每桶牛
3、奶可加工成2公斤A1和3公斤A2，变为每桶牛奶可加工成4公斤A1或者6公斤A2。设原题目给的其它条件都不变，问应否采用这项革新，若采用，生产计划如何。二、问题分析在生产的过程中，往往会产生不同的生产方案，由此引起的生产费用成本也是不相同的，而且，同种原料也会产生很多不同种类、不同价格的最终产品，因此，本题以成本控制和目标利润为主导，对实际生产计划经过简化的加工方案优化设计,这是一个可以转化的数学问题，我们可以利用线性和非线性规划并结合回归分析方法来研究。首先我们可以将奶制品的加工和销售过程转化成以下简单
4、而又易懂的图形：由题意可知:A1,B1,A2,B2的售价分别为p1=10,p2=30,p3=9,p4=20(元/公斤)。牛奶的购入和加工费用为q1=10+5=15(元/桶),深加工A1,A2的费用分别为q2=4,q3=3(元/公斤)。每桶牛奶可加工成a=2公斤A1和b=3公斤A2,每公斤A1可深加工成c=0.8公斤B1,每公斤A2可深加工成d=0.7公斤B2。每桶牛奶的加工时间为15小时,每公斤A1,A2的深加工时间分别为12,10(小时),工厂的总加工能力为S=2000小时。B1,B2的销售量(即产量
5、)占全部奶制品的比例为20%~40%。记出售A1,B1的数量分别为x1,x2(公斤),出售A2,B2的数量分别为x3,x4(公斤),生产的A1,A2的数量分别为x5,x6(公斤),购入和加工牛奶的数量为x7桶,深加工的A1,A2的数量分别为x8,x9(公斤)。三、符号说明与名词定义变量设定：记出售A1,B1的数量分别为x1,x2(公斤),出售A2,B2的数量分别为x3,x4(公斤),生产的A1,A2的数量分别为x5,x6(公斤),购入和加工牛奶的数量为x7桶,深加工的A1,A2的数量分别为x8,x9(公
6、斤)。四、模型建立与求解根据上面的分析,在供需平衡的条件下,使得利润最大的生产计划应满足下面的线性规划模型:maxz=10x1+30x2+9x3+20x4-15x7-4x8-3x9x5=2x7,x6=3x7,x2=0.8x8,x4=0.7x9,x5=x1+x8,x6=x3+x9,15x7+12x8+10x9≤2000,(1)0.2(x1+x2+x3+x4)≤x2+x4≤0.4(x1+x2+x3+x4),x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9≥0利用MATLAB求解,并作Lagrange(下
7、记Lag)分析可得:X=(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9)=(5511846,6510407,20418780,0,13615854,20418780,6812927,8113008,0)Lag=(8.0976,7.0976,-37.6098,-35.8420,8.0976,7.0976,1.4992,9.5122,0,0,0,0,8.2323,0,0,0,0)z=299814对所解得的X值作适当的取整处理可以得到(一周的)生产计划为:购入、加工68桶牛奶,加工成136公斤A1,2
8、04公斤A2,其中55公斤A1直接出售,81公斤A1再加工成才4.8公斤B1出售,而204公斤A2则全部直接出售,这样可获得利润为2986元。由Lag值可知,加工能力2000小时已用足,且每增加工1小时可获利1.4992元;高级奶制品的产量占全部奶制品产量达到下限20%。而按上面给出的计划实施可算出加工能力为1992小时,高级奶制品的产量比例为20.01%,因此,此计划是可行的。如果在建模时就要求购入和加工牛奶的桶数x7为整数,那么线性规划
