数值分析实验五非线性方程的求根2

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1、数值分析实验五非线性方程的求根组号_班级_学号姓名分数—:实验目的1、用MATLAB软件对非线性方程组求根，并对结果作初步分析。2、用两种不同的求根方法求解，比较哪种方法最简便。二：实验内容及基本知识介绍简单迭代法：解非线性方程组的迭代法和非线性方程一样，酋先需要将F(x)=0转化为等价方程组：%,=(Pi=简记为x=^(x)。其小，(/y.Rn4R，(/r.Rn4Rn，X=、X，x2,"xnyeRn，由此构造迭代公式：=(2-32)这种方法称为简单迭代法，或称为不动点迭代法。0仍成为迭代函数，用不同的迭代力_法可构造不同的迭代函数可得到不

2、同的迭代法。给定初始向呈"x(D),lh迭代公式(2-32)可产生向呈•序列若存在，则称为收敛序列，其中％是方程组的解，乂称为方程组x=(t){x)的不动点。牛顿迭代法的原理：单个方程的牛顿迭代法可以推广到方程组的情形，它也是简单迭代法的特殊情形。牛顿法的原理是用线性函数近似非线性阑数，逐次用线性方程组的解近似非线性方程组的解X。线性化方法：对于方程组F(x)=0,设y;(x)(/=l，2,…n)具有对=…Z?)的二阶偏异数。又设方程组F(;v)=0有近似解=W),W),…将在点作多元函数Taylor展开，并取其线性部分=⑷Rx-xW)。令上

3、式右端力零，得到线性方程组F(%⑷)(x-x(A))=-F(x(A))，(2-33)K•中J(x)AF'(x)=水（又）a/l(x)3/iWdx29ar„3/2(义)a/2w3x,MV如,，弘⑷3人w9x,’dx，，^■rdxn为X处/.（X）的各个一阶偏导数矩阵，称为的雅14比矩阵。由（2-33）得到牛顿迭代公式：又U+U=_%⑷［j⑷］1F（又⑷），々=0，1，2，."，（2-34）牛顿迭代过程：记/^（A）=x—xW,则由方程组（2-33）将到厂卜⑷当det（J）#O吋，解出心W,则有对于近似解#+1）,再重复上趾计算，这就是•卞顿迭代

4、过程，迭代公式为I,、,二'夕=0，1，2,，

5、）=XW+A（XW牛顿法的计算过程：步骤一：准备，选定初始近似值％。，计算/。=/（及），/。=/（〜）步骤二：迭代，按公式迭代一次，得到新的近似值x,,计算=步骤三：控制，如果x,满足或

6、/；

7、<£2,则终止迭代，以6作为所求的根；否则转步骤四，此处是允许误差，IfijW

8、向附近其有二阶连续偏导数，Jacobi矩阵在/为非奇异矩阵，则对/附近的初始向量xW,牛顿迭代过程收敛(具有•〒方收敛的)。三：实验问题及方法、步骤1、分别川简单迭代法和牛顿法求K面方程组在=(0.5,0.5f附近的解。(x,,x2)=%,-0.7sin%,-0.2cosx2=0，[f2(%px2)=x2-0-7cosx,+0.2sin%2=0简单迭代法.•编程如下：先构逮M-file：名为iterates.mfunction[xstar,index,it]=iterates(G,x,ep,itmax)ifnargin<4it_max=100

9、;endifnargin<3ep=le-5;endindex=0;k=l;whi1ek<=it_maxxl=x;x=feval(G,x)ifnorm(x-xl)<=epindex=1;break;endk=k+l;endxstar=x;it=k;%G(x)为需要求解的函数；%x为初始向量(列向量)；%ep为精度，缺省值为le-5,终止计算；%it_max为最大迭代次数，缺省值为100;%xstar为当迭代成功时，输出方程的根，%XStar为迭代失败时，输出最后的迭代值，%index为指标变量，%当土11<16乂=1时，表明迭代成功，%inde

10、x=0表明迭代次数>=itmax,失败，%it为迭代次数。_在构建M-file:名为G.mfunctionf=G(x)f=[0.7*sin(x(1))+0.2*cos(x(2));0.7*cos(x(1))-0.2*sin(x(2))]调用简单迭代函数iterates.m求方程组的解：iterates(@G,[0.50.5J*)得到方程纟II的解为：0.51110.51110.51610.51610.51840.51840.51140.5114f=0.5199X0.5199f=0.5222X=0.52220.51090.51090.50970

11、.5097f=0.5237X0.5237f=0.5247X=0.52470.50910.50910.50870.5087f=0.5254X0.5254f=0.525