毕业论文《一致连续函数的判定》

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1、一致连续函数的判定摘要：函数在区间I上的一致连续性与连续是两个不同的概念，后者是一个局部性概念，前者具有整体性质，它刻画了函数f(x)在区间I上变化的相对均匀性.给出了几个判别函数一致连续性的方法，本文是通过连续函数的性质寻求一致连续函数的判定十五种判别方法.关键词：函数；连续；一致连续；收敛引言：函数的一致连续是数学分析中的一个重要概念.连续是考察函数在一个点的性质而一致连续是考察函数在一个区间的性质.以一致连续比连续的条件要严格，在区间上一致连续的函数则一定连续，但连续的函数不一定一致连续。因此我去总结了通过

2、函数的连续性寻找一些函数一致连续的判别法.一、基本概念与定理定义(一致连续)：设函数/U)在区间/上有定义，若▽£*〉0，彐5〉0,Vx,,x2GI,当I;-又2

3、<5时，有

4、/(xl)-/O2)

5、<£，则称函数f(x)在/上一致连续。注：设函数/(X)在区间/上有定义，若3£。〉0,75〉0,3；1

6、，七6/,当x2

7、<5时，有

8、/(七)-/(%2)

9、则称函数/(X)在区间/上不一致连续。(Cantor定理)：若函数/(%)在IX间［a,b］连续，则/(x)在IX间［6/，/?］上一致连续。二、有限区间上一致连

10、续函数的判定定理1:函数/(%)在［a^b］上一致连续的充要条件是函数/(x)在［a,b］上连续。定理2:函数/U)在(a，b)上一致连续的充要条件是函数/Ge)在(a，b)上连续且limf(x),limf(x)都存在。证明：必要性，因为函数/(X)在上一致连续，即：对Vr〉0,35〉0,对Vx，ye(“,/?)，且

11、x-)，

12、

13、/(x)-/(y)

14、<£，显然函数/O)在(《,/?)上连续，当xpx2e(6Z，6Z+5)时，当然I%,—X2

15、<5,有根据柯西收敛准则，lim/(x)存在。同理可证，lim/

16、(x)存在。x—>a^x—^b—充分性，因为lim/U),lim/U)都存在，分别设为A和x->a+x-^bAx=a构造函数：F(x)=

17、)在区间(6/，/7)((〃，/7)是有限区间或无穷区间)连续，则/(X)在内闭一致连续。即V［6Z,川e(a，b)，/(X)在［6Z，/?］上一致连续。结论的正确性奋⑺r定理直接可得。用此条件能解决很多关于函数性质的证明题。其解题思路是把开区间上的问题转化到闭区间上，从而利用Qn价;r定理。定理4:若函数/(%)在及都一致连续，则/(%)在

18、«，c

19、上一致连续、注：改k，c

20、为k，+oo)时，结论也成立。证明：己知函数/(X)在［6Z，/7］与［/7，C］一•致连续，即：▽£〉0，34e［tz,/?］且

21、七—又

22、2

23、<4，有

24、/0

25、)-/02)

26、<£;V£〉0，3J2>0,Vxpx2g［b,c］且

27、%1-x2

28、<52，有

29、/(七)-/(又2)

30、<—。于是，有：V£〉0，3^=min{0,Vx,,x2g［a,c］,且

31、j^-x2

32、;-久2

33、<5，W

34、/(-r,)-/(x2)

35、<—<£；22)XPX2€[/?，(?]且h-x2

36、<5，W

37、/(x,)-/(%2)

38、<—<£•:2)x,g[a,b],x2g[b,c]J@L

39、x,-x2<8^x}-b

40、函数/(x)在h，c

41、上一致连续。定理5:函数/u)在上一致连续的充要条件是任给川中收敛数列｛xn｝9函数列｛/(%,,)1也收敛。证明：必要性，由于函数/(%)在上一致连续，故对于V£>0,3J>0,当(“，/?)，且时，有

42、/(/)-/(x")

43、

44、x,,-xw

45、

46、/(xj-/(xj

47、<£。所以，函数列1/U,,)1也收敛。充分性，假设/(%)在上不一致连续，即彐£*0〉0，对VA〉0(取么=丄)，3x„，y,,e(«，/

48、?)，且

49、x„-y,,

50、〈氏=丄，nn而I/UJ-/()，々&⑴且有界，故存在收敛子列［r,J。由

51、Xn-又,

52、；,｝中相皮的了•列｛)｝也收敛，且与及限相同，因此数列'，yW

53、，，x,2，…，，:V••也收敛于相同极限，于是数列/(')，/(')，/(〜)，/(乂,2)，•••/(')，/(y,J…也收敛。故当々足够大吋，与⑴矛盾