一、重难点知识讲解

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1、一、重难点知识讲解1、同角的三角函数有三种关系：　　平方关系：sin2α＋cos2α=1；　　商式关系：；　　倒数关系：tanαcotα=1．　　它们的主要应用有：　　（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切中的一个，求其他两个；　　（2）化简三角函数式；　　（3）证明简单三角恒等式等．　　同角三角函数变换，要突出弦、切互化，同时要注意各种变换技巧，如“1”可以用“sin2α＋cos2α”代换等．2、诱导公式有两组，可概括为对k·90°±α(α∈Z)的各三角函数值满足规律“奇变偶不变，符号看象限”，即当k为偶数时，得α的同名函数

2、；当k为奇数时，得α的余名函数；然后在前面加一个把α看成锐角时原函数的符号．在利用诱导公式求任意角的三角函数值时，不必拘泥于课本上列出的几个步骤，可以结合三角函数的性质，灵活使用．3、三角函数的恒等变换中最基本、最常见的变换有：　　（1）公式变换：要注意正确理解公式中和、差、倍的相对性，抓住公式中角、函数、结构的特点，灵活地对公式进行正向、逆向及变形使用；　　（2）角度变换：要善于分析角之间的和、差、倍、半的关系，要特别注意能否产生特殊角，正确使用诱导公式及辅助角公式；　　（3）函数变换：弦切互化；　　（4）1的变换：如1=

3、sin2α＋cos2α，1=tanαcotα，等；　　（5）幂的变换：用公式来升、降幂．4、三角恒等变换的基本题型有三种．　　（1）求值：　　①给角求值，其关键是正确分析角间的关系，准确地选用公式，将非特殊角转化为特殊角或将非特殊角的三角函数值相约或相消；　　②给值求值，其关键是分析已知和待求式之间的角、函数、结构的差异，有目的地消化；　　③给值求角，其关键是先求出该角某一三角函数值，在对应函数的单调区间内求解．　　（2）化简：　　①未指明答案的恒等变形，应把结果化为最简形式；　　②根据解题需要将三角函数式化为某种特定的形式

4、，如一角一函数形式，以便研究函数的各种性质．　　（3）证明：　　主要有两种：无条件恒等式证明和条件恒等式证明．5、在求值、化简、证明中应注意的问题有：　　（1）三角式化简的目标．　　①项数尽可能少；　　②三角函数种类尽可能少；　　③角尽可能少、小；　　④次数尽可能低；　　⑤分母尽可能不含三角式；　　⑥尽可能不带根号；　　⑦能求出值的要求出值．　　（2）三角运算的基本原则．③异角化同角；（角分析法）⑦常数的处理（特别注意“1”的代换）．（3）几个重要的三角变换思想①sinα·cosα→凑倍角公式；②1±cosα→升幂公式；③1

5、±sinα→配方或化为1±cos(－α)再升幂；④asinα＋bcosα→辅助角公式；⑤tgα±tgβ→两角和与差的正切公式逆用．二、例题讲解：例1、求证：tan3A－tan2A－tanA=tan3A·tan2A·tanA．证明：欲证等式即为tan3A(1－tan2A·tanA)=tan2A＋tanA，　　即．　　根据正切的和角公式，　　结论成立．　　小结：1、分析法“执果索因”，便于寻找解题途径，也是三角恒等式证明中的一种常用方法；　　2、本题可以推广如下：若α=β＋γ，则tanα－tanβ－tanγ=tanα·tanβ·

6、tanγ．特殊地，若△ABC是非直角三角形，则　　（1）tanA＋tanB＋tanC=tanA·tanB·tanC，　　（2）tannA＋tannB＋tannC=tannA·tannB·tannC．例2、已知(a≠0)的定义域为[0，]，值域为[－5，1]，求常数a、b的值．分析：观察函数的特征，需将它化归为形如y=Asin(ωx＋φ)＋B型三角函数求值域，特别注意此时x∈[0，]，故首先要求出ωx＋φ的范围并进而求出sin(ωx＋φ)的取值范围，同时注意系数A的符号．　　解：　　　　（1）　　　　求得a=2，b=－5．　　

7、（2）　　　　求得a=－2，b=1．例3、已知sinα是sinθ和cosθ的等差中项，sinβ是sinθ和cosθ的等比中项，求证：cos4β－4cos4α=3．证明：由已知条件得：　　2sinα=sinθ＋cosθ，①　　sin2β=sinθ·cosθ．②　　①式平方得：4sin2α=1＋2sinθcosθ，③　　②式代入③得：4sin2α=1＋2sin2β，　　即2cos2α=cos2β．④　　④式平方得：4cos22α=cos22β，　　再降幂：2(1＋cos4α)=(1＋cos4β)，　　∴cos4β－4cos4α=

8、3．　　小结：在三角变换中，为了达到化繁为简的目的，降幂应该是最主要的手段，但在某些情况下，升幂也是必要的例4、已知，求：（1）x2＋2xy＋y2的最大值与最小值；（2）求3x＋4y的最大值与最小值．分析：由已知条件的结构特征：两数的平方和为1，联想到sin2θ＋cos2θ=1，由此可作三