2018年高考数学二轮复习考前专题五立体几何与空间向量第2讲空间中的平行与垂直讲学案理

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1、第2讲　空间中的平行与垂直1.以选择题、填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定定理与性质定理对命题的真假进行判断，属于基础题．2．以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等．热点一　空间线面位置关系的判定空间线面位置关系判断的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题．(2)必要时可以借助空间几何模型，如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系，并结合有关定理来进行判断．例1　(1)(2017·四川省眉山

2、中学月考)已知m，n为空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个不同的平面，下列命题正确的是(　　)A．若n⊥α，n⊥β，m⊂β，则m∥αB．若m⊥α，α⊥β，则m∥βC．若m，n在α内的射影互相平行，则m∥nD．若m⊥l，α∩β＝l，则m⊥α答案　A解析　由题意知，n⊥α，n⊥β，则α∥β，又m⊂β，则m∥α，A正确；若m⊥α，α⊥β，可能会现m⊂β，B错误；若m，n在α内的射影互相平行，两直线异面也可以，C错误；若m⊥l，α∩β＝l，可能会出现m⊂α，D错误．故选A.(2)(2017届泉州模拟)设四棱锥P－ABCD的底面不是平行四边形，用平面α去截此四

3、棱锥，使得截面四边形是平行四边形，则这样的平面α(　　)A．有无数多个B．恰有4个C．只有1个D．不存在答案　A解析　如图，由题知面PAD与面PBC相交，面PAB与面PCD相交，可设两组相交平面的交线分别为m，n，由m，n决定的平面为β，作α与β平行且与四条侧棱相交，交点分别为A1，B1，19C1，D1，则由面面平行的性质定理得A1B1∥n∥C1D1，A1D1∥m∥B1C1，从而得截面必为平行四边形．由于平面α可以上下平移，可知满足条件的平面α有无数多个．故选A.思维升华　解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各

4、种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的结论不能完全引用到立体几何中．跟踪演练1　(1)α，β，γ是三个平面，m,n是两条直线，则下列命题正确的是(　　)A．若α∩β＝m,n⊂α，m⊥n，则α⊥βB．若α⊥β，α∩β＝m,α∩γ＝n，则m⊥nC．若m不垂直平面α，则m不可能垂直于平面α内的无数条直线D．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β答案　D解析　逐一分析所给的命题：A项，若α∩β＝m,n⊂α，m⊥n，并非一条直线垂直于平面内的两条相交直线，不一定有α⊥

5、β，该说法错误；B项，若α⊥β，α∩β＝m,α∩γ＝n，无法确定m，n的关系，该说法错误；C项，若m不垂直平面α，则m可能垂直于平面α内的无数条直线，该说法错误；D项，若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β，该说法正确．故选D.(2)(2017届株洲一模)如图，平面α⊥平面β，α∩β＝直线l,A，C是α内不同的两点，B，D是β内不同的两点，且A，B，C，D∉直线l,M，N分别是线段AB，CD的中点．下列判断正确的是(　　)A．当CD＝2AB时，M，N两点不可能重合B．M，N两点可能重合，但此时直线AC与l不可能相交C．当AB与CD相交，直线AC平行于l时，直

6、线BD可以与l相交D．当AB，CD是异面直线时，直线MN可能与l平行答案　B解析　由于直线CD的两个端点都可以动，所以M，N两点可能重合，此时两条直线AB，CD共面，由于两条线段互相平分，所以四边形ACBD是平行四边形，因此AC∥BD，则BD⊂β，所以由线面平行的判定定理可得AC∥β，又因为AC⊂α，α∩β＝l，所以由线面平行的性质定理可得AC∥l，故应排除答案A，C，D，故选B.19热点二　空间平行、垂直关系的证明空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定定理、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．例2　(1)(2017·全

7、国Ⅱ)如图，四棱锥P—ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.①证明：直线BC∥平面PAD；②若△PCD的面积为2，求四棱锥P—ABCD的体积．①证明　在平面ABCD内，因为∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD.又BC⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以BC∥平面PAD.②解　如图，取AD的中点M，连接PM，CM.由AB＝BC＝AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM

8、⊥AD，PM⊥底面ABCD.因为CM⊂底面ABCD，所以PM⊥CM.设BC＝x，