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1、考点11椭圆1.（2010·广东高考文科·Ｔ7）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【思路点拨】由椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，列出、、的关系，再转化为、间的关系，从而求出.【规范解答】选.椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,，，即：，又，，即，，（舍去）或，，故选.2.（2010·福建高考文科·Ｔ１1）若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（）A.2B.3C.6D.8【命题立意】本题考查椭圆的基本概念、平面向量的内积、利用二次函数求最值.【思路点拨】先求出
2、椭圆的左焦点，设P为动点，依题意写出的表达式，进而转化为求解条件最值的问题，利用二次函数的方法求解.【规范解答】选C，设，则，又因为，又，，所以.3.（2010·海南高考理科·T20）设分别是椭圆E:（a>b>0）的左、右焦点，过斜率为1的直线与E相交于两点，且,,成等差数列.（Ⅰ)求E的离心率；（Ⅱ）设点P（0,-1）满足,求E的方程.【命题立意】本题综合考查了椭圆的定义、等差数列的概念以及直线与椭圆的关系等等.解决本题时，一定要灵活运用韦达定理以及弦长公式等知识.【思路点拨】利用等差数列的定义，得出,,满足的一个关系，然后再利用椭圆的定义进行计算.【规范解答】（
3、Ⅰ)由椭圆的定义知，，又得，的方程为，其中设，则两点坐标满足方程组化简得，则，.因为直线AB斜率为1，所以得，故,所以E的离心率.（Ⅱ）设两点的中点为，由（Ⅰ)知，.由，可知.即，得，从而.椭圆E的方程为.【方法技巧】熟练利用圆锥曲线的定义及常用的性质，从题目中提取有价值的信息，然后列出方程组进行相关的计算.4.（2010·北京高考文科·Ｔ１9）已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是，，离心率是，直线与椭圆C交与不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P,圆心为P.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；（Ⅲ）设Q（x,y）是圆P上的动点，当变化时，求
4、y的最大值.【命题立意】本题考查了求椭圆方程，直线与圆的位置关系，函数的最值。要求学生掌握椭圆标准中的关系，离心率.直线与圆相切问题转化为圆心到直线的距离等于半径来求解.第（Ⅲ）问中最大值的求法用到了三角代换，体现了数学中的转化与化归思想.【思路点拨】由焦点可求出，再利用离心率可求出。直线与圆的位置关系转化为圆心到直线的距离.【规范解答】（Ⅰ）因为，且，所以所以椭圆C的方程为.（Ⅱ）由题意知由得所以圆P的半径为.由，解得.所以点P的坐标是（0，）.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，圆P的方程.因为点在圆P上。所以由图可知。设，则当，即，且，取最大值2.【方法技巧】（1）直线与圆的位
5、置关系：时相离；时相切；时相交；（2）求无理函数的最值时三角代换是一种常用的去根号的技巧.5.（2010·辽宁高考文理科·Ｔ20）设椭圆C：的右焦点为F，过点F的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,.(I)求椭圆C的离心率；(II)如果
6、AB
7、=，求椭圆C的方程.【命题立意】本题考查了直线的点斜式方程，考查了椭圆的离心率，椭圆的标准方程，考查了圆锥曲线中的弦长问题，以及推理运算能力.【思路点拨】（I）联立直线方程和椭圆方程，消去x,解出两个交点的纵坐标，利用这两个纵坐标间的关系，得出a、b、c间的关系，求出离心率.（II）利用弦长公式表示出
8、AB
9、
10、，再结合离心率和，求出a、b，写出椭圆方程.【规范解答】【方法技巧】1、直线、圆锥曲线的综合问题，往往是联立成方程组消去一个x(或y),得到关于y(或x)的一元二次方程，使问题得以解决.2、弦长问题，注意使用弦长公式，并结合一元二次方程根与系数的关系来解决问题.6.（2010·天津高考文理科·Ｔ20）已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4（1）求椭圆的方程；（2）设直线与椭圆相交于不同的两点，已知点的坐标为（），点在线段的垂直平分线上，且，求的值.【命题立意】本小题主要考察椭圆的标准方程和几何性质，直线的方程，平面向量等基础知识，考查用代数方法研
11、究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查运算和推理能力。【思路点拨】（1）建立关于a,b的方程组求出a,b；（2）构造新的一元二次方程求解。【规范解答】（1）由，得，再由，得由题意可知，解方程组得a=2,b=1，所以椭圆的方程为。(2)解：由（1）可知A（-2,0）。设B点的坐标为（x1,,y1）,直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+2),于是A,B两点的坐标满足方程组由方程组消去整理，得由得设线段AB是中点为M，则M的坐标为以下分两种情况：（1）当k=0时，点B的坐标为（2,0）。线段AB的垂直平分线为y轴，于是（2）当k时，线段AB的垂直平分线方程为
