2.5平方根法追赶法.doc

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1、§5　平方根法　一、教学设计1．教学内容：对称正定矩阵的Cholesky分解法、三对角线矩阵分解的追赶法。2．重点难点：Cholesky分解法、追赶法。3．教学目标：掌握对称正定矩阵的Cholesky分解的计算过程，掌握三对角线矩阵分解的追赶法。4．教学方法：讲授与讨论。二、教学过程§5　平方根法在工程计算中，常遇到求解解对称再正定线性方程组问题，如应用有限元法解结构力学问题，应用差分方法解椭圆型偏微分方程等，最后都归结为求解系数矩阵为对称正定阵的线性方程组。根据系数矩阵的特殊性，是否有更好的解决方案（在存贮空间上的好处是显而易见的），算法上是否有所简化？5－0对称正定矩阵及性质复习定

2、义：设，如果满足条件（1）；（2）对任意非零向量，有，则称A为对称正定矩阵。定理1　（对称正定矩阵的性质）如果为对称正定矩阵，则（1）A为非奇异阵，且亦是对称正定阵；（2）记为A的顺序主子阵，则亦是对称正定阵；（3）A的特征值；（4）A的顺序主子式都大于零，即。定理2　设为对称矩阵（判据）（1）若A的特征值，则A为对称正定矩阵；（2）若A的顺序主子式都大于零，即，则A为对称正定阵。5－1　对称正定矩阵的三角分解由前述定理3.1知，若阶方阵A的顺序主子式均不为零，则A有唯一的三角分解，其中为单位下三角阵，为上三角阵。阶对称正定阵A的顺序主子式都大于零，当然有分解，进一步地，此时之间有什么

3、关系？这对解方程组有用处。由及分解的唯一性，想到若的主对角元素皆为1，就有可能获得一些结果。为此，再将分解易知　（用分别记矩阵的阶顺序主子阵，容易验证于是）于是，所以，即由分解的唯一性知：，，于是自然地，若记则，其中是对角元为正数的下三角阵。定理5.1　（Cholesky分解）设A是阶对称正定矩阵，则存在唯一的对角线元素全是正数的下三角形矩阵，使得。称这种分解为Cholesky分解。有了这种分解后，解线性方程组等价于解以下两个三角方程组，，这将带来一些简便。下面讨论如何计算的元素。5－2　平方根法设阶对称正定矩阵A有如下Cholesky分解比较等式两边的第1列对应元素，得到于是得到的第

4、1列元素比较等式两边的第2列（对角元及其以下）对应元素，得到于是得到的第2列元素一般地，比较等式两边的第列（对角元以下）对应元素，得到于是得到的第列元素5.85.9电算时，可只存A的下三角部分于二维数组A中，且注意到当计算出L的某一列元素后，A的相应列元素在后续计算过程中不再起作用，故可将求得的L的元素保存在A的相应位置上。假设已得到L的前列元素，从下图中注意观察L的第列元素的计算过程。完成矩阵A的Cholesky分解后，解，化为解以下两个三角形方程组（1），　（5.10）（2），　（5.11）称由公式（5.8）~（5.11）解对称正定线性方程组的方法为平方根法。例：用平方根法解对称正

5、定方程组A=4-11-117/411/4111/47/2计算L的第1列200-1/217/401/211/47/2计算L的第2列200-1/2201/23/27/2计算L的第3列200-1/2201/23/21Ly=b2000-1/22011/23/210y=01/2-3/4L'x=y2-1/21/20023/21/2001-3/4x=25/6413/16-3/45－3　平方根法的数值稳定性由（5.8）式知：于是，上式说明在不选主元的平方根法中，分解过程中L的元素有界，或者说在分解过程中产生的L的元素的数量级不会增长，且，再由（5.9）式知的值不会太小，否则的值将会很大，而这与上面的分

6、析“L的元素有界”相矛盾。可见，平方根法是数值稳定的。为避免求平方根，还可将算法改进。(采用分解式§6　追赶法在一些实际问题中，例如用差分法解二阶线性常微分方程边值问题，解热传导方程以及船体数学放样中建立三次样条函数等，都会要求解系数矩阵为对角占优的三对角线方程组简记为。其中A满足下列条件：（称为对角占优的三对角线矩阵）（1）（2）（3）对于这个方程组，或许可以用前面介绍的Gauss消去法、Doolittle分解法等方法求解，但考虑到其系数矩阵的特殊性，我们设法建立更有效的快速算法――追赶法，它具有计算少，方法简单，算法稳定等特点。若能将A进行Doolittle分解A＝LU，那么此时L

7、，U有什么特点呢？先提一下严格对角占优阵的性质。（我们讨论的仅是对角占优阵，用不到这些结论，仅作为阅读资料）定理　设A为阶方阵，且严格（行）对角占优阵，则A为非奇异阵，且其各阶顺序主子式均不为0。证明：（反证法）假设A为奇异阵，则存在非零向量使得，即设则有，两边约去后，与题设（行）严格对角占优矛盾！我们这里讨论的对角占优的三对线矩阵不是严格对角占优阵，但由于其特殊的三对角，我们还是可以直接用归纳法很容易地证明下面定理定理　设阶三对角阵A满足条件