探究课本习题，拓展数学思维

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1、探究课本习题，拓展数学思维摘要：现阶段，高中学生花费了大量的时间来完成各科教辅资料，他们盲目追求课外资料而忽略了对课本的研读与课后习题的钻研。对此，教师必须引导学生认真研读每年的高考考试大纲，了解高考试卷的出题办法，让学生认识到万变不离其宗一一课本，只有在平时的学习中更多地关注课木和研究课后习题，才能在高考的战场上立于不败之地。关键词：直线;方程;数形结合屮图分类号：G63文献标识码：A文章编号：1673-9132（2017）05-0078-02D0I：10.16657/j.cnki.issnl673-9132.2017.05.0

2、48人教版《普通高屮课程标准实验教科书?数学》（必修2）屮有一道:>J题：一条光线从点p（6，4）射出，与x相交于点Q（2，0），经x轴反射，求入射光线和反射光线的方程。对于此题，很多学生看后，不以为然，宥的甚至不屑动手，因为总觉得用自己的解法能很快得出答案。见此情形，我提问学生有哪些不同的解法。生1:采用点斜式。解法1:如图1，由P、Q两点的坐标可知入射光线的斜率，再由几何关系知反射光线的斜率k反=-1,再根椐点斜式的方程得入射光线与反射光线的方程分别为：1：x-y-2=0;l反：x+y-2=0o教师：这位同学的解法很好！用到了

3、最常规的做法。请大家再思考一下，还可以用其他的方法来解决吗？通过这样一问，学生幵始画图，互相讨论，构思自己的解法。生2:采用点关于法线对称和两点式。解法2:如图1，由几何关系知P（6,4）关于法线x=2的对称点P’（-2,4），则由两点式的方程得出入射光线与反射光线的方程分别为：1：x-y-2=0;l反：x+y-2=0o生3:采用点关于x轴对称和两点式。解法3:如图1:由几何关系知P关于x轴的对称点p’（6,-4），则由两点式的方程得出入射光线与反射光线的方程分别为：1:x-y_2=0;l反：x+y-2=0o生4:采用光的反射原理

4、和点斜式。解法4:如图1,由P、Q两点的坐标可知入射光线的斜率，则入射光线的倾斜角为45°,入射角为45°,反射角为45°，反射光线的倾斜角为135°，则反射光线的斜率。再根据点斜式方程得入射光线与反射光线的方程分别为：1：x-y-2=0;l反：x+y-2=0o教师：大家的方法都很好！但是光线能反射一次，就可以进行第二次反射，根据你们给出的多种解法，我对题目进行适当的改编，想让其发挥更好的作用。变式：一条光线从点p（6，4）射出，与x相交于点Q（3，0），经x轴第一次反射后射向y轴，再由y轴进行第二次反射，求入射光线、第一次反射光

5、线12和第二次反射光线13的方程。给出题目后，学生的表现大不一样，个个都抢着要说自己的想法，我就随机叫起了几名学生来回答。生5:求11的方程时可用两点式。解法：如图2,入射光线11经过点p(6,4)和Q(3,0)，所以利用两点式的方程得11的方程为4x-3y~4=0o生6:求12的方程时可用截距式。解法：如图2,由几何关系知，反射光线12经过点Q(3,0)和p(6,4)关于直线x=3的对称点M(0,4),所以利用截距式的方程得12的方程为，化为一般式为4x+3y-12=0。生7:求13的方程时可用斜截式。解法：如图2,点Q(3,0

6、)关于x轴对称点Q’(-3，0),则13的斜率，则13可利用直线的斜截式方程得，化为一般式为4x-3y+4=0。教师：这几名同学的解法很好，通过解决这个问题，将直线方程的几种形式都呈现了出来。另外，在推广应用中，要拓展学生数学思维的活度。题根：己知直线L经过直线2x+y-5=0与x-2y=0的交点，求点A(5,0)到L的距离的最大值。生8:(代数法)由解的交点P(2，1),过P(2，1)任意作直线垂直于1，设d为A到1的距离，则(当是等号成立)，所以。生9:(几何法)如图3,以AP为直径作圆，过P(2,1)的直线与圆交于B，连接A

7、B，由几何关系知AB就是点A(5，0)到1的距离，当直线1转动使得弦AB与AP重合时，点A到直线1的距离最大。O教师：很好的几何方法，数形结合，应用很完美！本节课通过探究一道课本中的习题，使学生的探宄意识和思维方式得到了锻炼，掌握的数学知识得到了梳理和融合，真正提升了使用数学知识解决实际问题的能力。如果长期坚持，我们学习数学能力和应用数学的能力就会不断提高。