再论极限论总难学难教的真正原因有自相矛盾的百年糊涂话.doc

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1、再论极限论总难学难教的真正原因：有自相矛盾的百年糊涂话黄小宁通讯：广州市华南师大南区9-303第二信箱510631[摘要]“预先任意给定的正数ε”能否在V＝（0，1）内任意给定？若能，则V各元均能由ε代表；若不能，则何来不受任何限制的任意性？若预先在V内任意取定一数ε，必有ρ<ε，则由于取值的任意性，ρ必可

2、就是说ρ>0可<任意（任何）正数——这显然违反数学常识——这是极限论百年来总难学难教的真正原因。违反常识的理论必至繁至难。关键词自相矛盾的无穷小定义；y=x/2的值域≠定义域；重大病句：任何正数x>x/2；无穷小正数ρ<相应的所有ε一、林群院士的精辟见解对破解极限论总难学难教的百年世界难题很有指导意义“我最感到困难的是极限的概念，看了几遍教材都似懂非懂、模模糊糊的[1]。”“许多新生刚一接触《数学分析》，都感到很抽象，难理解，甚至半学期都入不了门。这使不少高考成绩不错的新生由刚入学时的雄心勃勃变得灰心丧气。…，尤其是‘极限理论’这一部分，…在

3、讲解完‘数列极限’后，我上了一堂习题课，深入剖析了极限概念…。课后一名男生对我说：‘老师，您上习题课前我觉得自己啥都明白，上完习题课后反而感觉啥都不明白了。’这说明…，他并没有真正理解‘极限’的本质[2]。”注！有的师生害怕权威说自己不聪明而不敢公开自己对学、教极限论的真实感受。教师即使“过劳”也教不会过劳的学生啊！学习微积分首先要学极限论，而学生花了许多时间与精力还是越学越感到啥都不明白地如坠云里雾里。后续的课程如何学？！学数学的人都深有体会：这堂课如被灌迷魂汤，下堂课就更要急陷入迷魂阵了。极限论使成功考入大学的骄子急陷入…。首要的问题不通

4、，则一不通百不通；通了，就一通百通。“…是2003年11月11日。早在一周前，就有三个大一新生打电话回母校…诉苦，…，另两个说高数难死人。最严重的一个学生说他半个月没有听数学课了，因为微积分根本听不懂。…！上大学才半个学期不到，微积分就学不下去，大学四年怎么混？[3]”（类似这样披露学生叫苦连天的例子数不胜数）面对学生的诉苦，老师也束手无策。确实，不打掉学习路上的拦路虎是根本学不下去的。但经千辛万苦考进来且交了学费的学生谁愿束手待毙等退学？若退学如何向父母交待？出于无奈学生们只有像填鸭那样痛苦万分地接受老师“填鸭“式的满堂灌。更要命的是养成不

5、求甚解的死记硬背陋习必使人只会盲目模仿例题解题，根本不能真正理解与掌握所学知识，使高分低能现象愈演愈烈。这使教育走向了自己的反面。这是一直没能解决的极为突出的世界性老大难难题。“关键是以往的教学改革者均不知百年极限论有把人给搞糊涂了的糊涂话，…[4]”。不对症下药的教学改革只能使“病情”越治越重。林群院士精辟指出：“如果读者经过认真阅读之后，还是弄不清微积分是什么，那么不要以为自己水平低；相反，要理直气壮地认为著者没有水平。…所以，读者懂或不懂，恰好是反映著者水平高或低的镜子。读者是公正的裁判员[5]。”据此，一定是编书者与教师们对极限论的认

6、识还远不够深，不够透，即其学识水平还远不能满足教学的需要。只会照本宣科而非真懂与懂透极限论者是无法完成教学任务的。二、无穷数概念来源于常识林群院士精辟指出：“数学归根结底也在常识之内。”（数学的实践与认识，1997-2）常识一看就懂。天上的星星数不完、物质的无限可分性、等等，就是宇宙中客观存在的无穷现象。元素多得写不完的集合就是无穷集。稍有一点头脑的人都不否认：既然1，2，3，n，…，…是无穷数列，那当然就有与1相隔写不完的那么多（即无穷多）个自然数的自然数n，虽然永生不死的人也不可由1写到此n，但此n却是数列中的无穷大自然数，否则就不是无穷

7、数列了。相应的1/n就是无穷小正数。相应的1，2，3，…，n。就是有首、末项的无穷数列。三、对数学表达式所表内容不能只有一知半解——百年“R完备”定理不堪一击要不人云亦云地深入了解英国，首先需懂英语，要不人云亦云地深入了解与掌握数学，首先需懂数学语言的含义。代数，就是用字母代表数。“在数集D内任意指定一个数x，必有y

8、定一个正数ε必有ρ<ε，就是说ρ必可<所有正数，任何正数都能由ε代表。这是由取值的任意性决定的事实。“∣a–b∣=…<2ε。由ε>0的任意性知a–b=0”（李成章等