二维功能梯度材料环板的静力性能研究.doc

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1、二维功能梯度材料环板的静力性能研究聂国隽1仲政2（同济大学航空航天与力学学院，上海200092）1ngj@mail.tongji.edu.cn,2zhongk@mail.tongji.edu.cn摘要：功能梯度材料结构的力学分析也成为当今力学研究的热点问题。本文采用一种半解析数值方法研究二维功能梯度材料环板的静力性能。根据弹性力学空间问题的基本理论，假定二维梯度材料的物性参数沿厚度和径向按同一指数函数变化，建立二维功能梯度材料环板静力性能分析的力学模型。数值算例的研究结果表明二维功能梯度材料结构具有较好的受力性能。对于特定方向满足功能要求的梯度材料，为提高功能梯度材料结构的静力性能可考

2、虑采用多维梯度变化的材料，使功能梯度结构在外部荷载作用下的应力分布最优化，实现真正意义上的材料与结构的一体化设计。关键词：二维功能梯度材料；环板；静力性能；半解析数值方法1概述功能梯度材料是一种新型非均匀复合材料。这种材料的各组份体积含量在空间位置上是连续变化的，其物理性能没有突变，因而可较好地避免诸如在纤维增强复合材料中经常出现的层间应力问题或应力集中现象。同时，这种材料具有很好的可设计性，可根据工程结构不同部位对材料性能的要求，合理分配材料组份，从而最大限度地改善结构内部应力分布状况，提高结构的力学性能和使用寿命。关于功能梯度材料结构的力学分析，国内外已有大量的研究成果。如Redd

3、y等[1]最早研究了功能梯度复合材料圆形和环形薄板的轴对称弯曲问题；尚尔涛和仲政[2]获得了功能梯度热释电材料平板柱型弯曲问题的精确解；杨正光等[3]采用状态空间法得到了四边简支功能梯度矩形板的静力弯曲和自由振动问题的精确解；吕朝锋等[4]给出了功能梯度厚梁的二维热弹性力学解等。上述文献均假设材料的物性参数沿某一维方向变化，从而使弯曲、屈曲和振动等各类问题的求解变得简明和可行。然而，功能梯度材料的物性参数在空间的变化规律不一定是一维的，当需要考虑二维或三维梯度材料时，由于材料性质宏观上的不均匀性，将使得多维功能梯度材料结构的分析更加困难。目前关于二维功能梯度材料结构的力学性能的研究工作

4、还较少。如Marin[5]研究了二维功能梯度材料中的稳态热传导问题；Nemat-Alla[6]通过一维和二维功能梯度材料的比较，说明了采用二维功能梯度材料可更加有效地减小板中的热应力等。鉴于此，本文将对二维功能梯度材料环板的静力性能进行研究。2基本公式根据弹性力学空间问题的基本理论，若不计体力，则环板的静力平衡方程可表示为：(1)式中，为柱坐标系下的应力分量。几何方程为：(2)式中，分别为沿轴方向的位移分量，为柱坐标系下的应变分量。对于正交各向异性材料，其本构方程为：(3)式中，为材料的弹性系数。假设二维梯度材料的物性参数沿厚度和径向按指数函数变化，即(4)式中，是材料常数在处的值，分

5、别表示二维梯度材料沿厚度和径向的梯度变化程度。根据方程(1)~(3)，并考虑式(4)，可得以位移表示的平衡微分方程。对于环板，内周边（）和外周边（）的边界条件可表示为：固定-固定：,；,.(5)固定-简支：,；,.(6)固定-自由：,；,.(7)若板上下表面作用有任意分布的载荷，可将载荷展开成级数形式，则载荷边界条件可表示为：，(8)，(9)式中，表示轴对称载荷情况。3求解过程根据式(1)~(4)导出的平衡微分方程，可采用一种半解析数值方法——微分求积法[7]和状态空间法[8]相结合的方法进行求解。板的位移可表示为如下分离变量的形式：(10)式中，为板环向波数。表示轴对称情况。考虑如下

6、无量纲化参数，则板的平衡微分方程可表示为状态空间方程的形式：,,,,,(11)(12)其中，，为状态变量。为系数矩阵，其中为单位阵，是径向坐标的函数。对于式(12)所示的状态空间方程，如果系数矩阵均为常数，则可得状态空间方程的解析解。为此，需采用微分求积法对板径向进行离散求解。根据微分求积法基本原理，板位移对沿径向坐标的偏导数可表示为离散点位移的加权和。即：(13)式中，表示网点总数，分别表示一阶和二阶导数的权系数矩阵，是离散点网点的径向坐标值，表示离散点的位移和位移的一阶导数值。将式(13)代入式(12)可得离散点的位移和位移的一阶导数表示的状态空间方程：(14)式中，系数矩阵中的元

7、素均为常数。根据状态空间法的基本原理，可得式(14)的解为：(15)式中，表示状态方程的状态转移矩阵，为矩阵指数函数，和分别表示状态变量在任意高度Z平面和底面处的值。根据式(15)，可得：(16)对于环板周边及上下表面的边界条件进行微分求积离散，并代入上式可得板上、下表面各状态变量的值。进而可求得二维功能梯度材料板任意点的位移及相应的应力值。4算例分析考虑内周边（b=0.1m）简支，外周边（a=1.0m）固定的二维功能梯度环板，厚度h为0.1a