数学参赛课件 抛物线的几何性质

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1、抛物线的几何性质参赛选手：****结合抛物线y2=2px(p>0)的标准方程和图形，探索其几何性质:(1)范围(2)对称性(3)顶点类比探索x≥0，y∈R关于x轴对称，对称轴又叫抛物线的轴.抛物线和它的轴的交点，原点（0，0）。(4)离心率(5)焦半径(6)通径始终为常数1通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径。

2、PF

3、=x0+p/2xOyFP通径的长度：2p例题解析例1.抛物线顶点在坐标原点，对称轴是坐标轴，并且过点M(2,),求它的标准方程，并画出草图。当

4、焦点在x(y)轴上，开口方向不定时，设方程为y2=mx(m≠0)(x2=my(m≠0))，可避免讨论。例2.斜率为1的直线L经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长。y2=4x焦点弦的长度方程图形范围对称性顶点焦半径焦点弦的长度y2=2px（p＞0）y2=-2px（p＞0）x2=2py（p＞0）x2=-2py（p＞0）lFyxOlFyxOlFyxOx≥0y∈Rx≤0y∈Rx∈Ry≥0y≤0x∈RlFyxO关于x轴对称关于x轴对称关于y轴对称关于y轴对称（0,0）（0,0）（0,0

5、）（0,0）特点1.抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，但它没有渐近线；2.抛物线只有一条对称轴，没有对称中心；3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线；4.抛物线的离心率是确定的，为1；5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响。P越大，开口越开阔例3探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处，已知灯的圆的直径60cm，灯深为40cm，求抛物线的标准方程和焦点位置。所以所求抛物线的标准方程是解:如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的

6、顶点)与原点重合，x轴垂直于灯口直径。设抛物线的标准方程是.由已知条件点A(40,30)，代入方程得:焦点坐标是yOxBA例5.求证:以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切.A1M1B1AXyOFBlM练习:1.过抛物线的焦点,作倾斜角为的直线,则被抛物线截得的弦长为y2=8x2.过抛物线的焦点做倾斜角为的直线L,设L交抛物线于A,B两点,(1)求

7、AB

8、;(2)求

9、AB

10、的最小值.课堂小结1.掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、离心率、通径、焦半径、焦点弦;2.会利用抛物线的几何性质求抛

11、物线的标准方程、焦点坐标及解决其它问题。