[精品]4.5 罗朗级数及展开方法

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1、4.5罗朗级数及展开方法4.5.1罗朗级数因此，我们可以用它的正幂项级数(4.5.2)和负幂项级数(4.5.3)的敛散性来定义原级数的敛散性.我们规定：当且仅当正幂项级数和负幂项级数都收敛时，原级数收敛，并且把原级数看成是正幂项级数与负幂项级数的和.解：函数f(z)在圆环域i)0<

2、z

3、<1;ii)1<

4、z

5、<2;iii)2<

6、z

7、<+内是处处解析的,应把f(z)在这些区域内展开成洛朗级数.xyO1xyO12xyO22)在1<

8、z

9、<2内：3)在2<

10、z

11、<+内:例2把函数[解]因有函数可以在以z0为中心的(由奇点隔开的)不同圆环域内解析,因而在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式(包括

12、泰勒展开式作为它的特例).我们不要把这种情形与洛朗展开式的唯一性相混淆.所谓洛朗展开式的唯一性,是指函数在某一个给定的圆环域内的洛朗展开式是唯一的.例如在z=i和z=-i处展开函数为洛朗级数。在复平面内有两个奇点:z=0与z=-i,分别在以i为中心的圆周:

13、z-i

14、=1与

15、z-i

16、=2上.因此,f(z)在以i为中心的圆环域(包括圆域)内的展开式有三个:1)在

17、z-i

18、<1中的泰勒展开式;2)在1<

19、z-i

20、<2中的洛朗展开式;3)在2<

21、z-i

22、<+中的洛朗展开式;在复平面内有一个奇点:z=0在以-i为中心的圆周:

23、z+i

24、=1上.因此,f(z)在以-i为中心的圆环域内的展开式有二个:

25、1)在0<

26、z+i

27、<1中的洛朗展开式;2)在1<

28、z+i

29、<+中的洛朗展开式。O-ii特别的，当洛朗级数的系数公式（即可利用Laurent系数计算积分）其中C为圆环域R1<

30、z-z0

31、

32、Eqn1U-Nuz-jo5Wg6qap0bKmuU+ULDZ43K!E&EPDZam81YRdT8fOGyjD97rjJw2to33LADH82L%*HdYxJ1mAh!TztcXiN3K%rbEaYd!JqOzx9Ynyv3QgXU26w44l*-eeDnSblGcQ5)iH&A(t5gWXo+PDI8$gk(4DWWKcvtCPVA0-g&SDUiR3zdOg+lwS+)wibz02VznCkWm07UbK$O#dwvEQW-xxiGTIH7EgdCu$HP*e$Hb3xFwALiwaVgYhhMeYgnu!gpzB0AIQlLy-54PisEIbUKgOgyhl+E9InQfa$T)b

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