[理学]概率4修改

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1、第四章随机变量的数字特征§1数学期望§2方差§3协方差与相关系数§4矩随机变量的概率分布反映了随机变量的统计规律性，但是在实际问题中，要确定一个随机变量的分布不是一件容易的事情．在许多情况下，并不需要求出随机变量的分布，只须知道从不同角度反映随机变量取值特征的若干个数字就够了，这些数字就称为随机变量的数字特征．例考察一射手的水平,既要看他的平均环数是否高,还要看他弹着点的范围是否小,即数据的波动是否小.r.v.的平均取值——数学期望r.v.取值平均偏离均值的情况——方差描述两r.v.间的某种关系的数——协方差与相关系数本章内容1.

2、1离散型随机变量的数学期望例1.1一台机床加工某种零件,已知它加工出优质品、合格品和废品的概率依次为0.2、0.7和0.1．如果出售优质品和合格品，每一个零件可分别获利0.40元和0.20元;如果加工出一件废品则要损失0.10元.问这台机床每加工出一个零件，平均可获利多少元？解以X表示加工出一个零件所获得的利润,则X的分布律为§1数学期望X－0.100.200.40P0.10.70.2现假设该机床加工个零件，其中废品件，合格品件，优质品件，这里.则这个零件可以获得总利润为其中，和分别是事件、和出现的频率.当很大时，，和分别接近于0

3、.1,0.7和0.2。X－0.100.200.40P0.10.70.2平均每个零件可获利为于是可以期望该机床加工出的每一个零件所获得的平均利润为（元）.定义1.1设离散型随机变量X的分布律为则称（要求此级数绝对收敛）设连续型随机变量X的概率密度为f(x),则称为X的数学期望(或均值)．（要求此积分绝对收敛)数学期望的本质——加权平均,它是一个数不再是r.v..为X的数学期望(或均值)．例1.2设X服从参数为p的(0－1)分布,求X的数学期望．解X的分布律为X01P1－pp例1.3设，求．解X的分布律为例1.4设，求.解X的分布律为

4、例1.5设X~参数为p的几何分布，求E(X).解X的分布律常见离散型r.v.的数学期望分布期望概率分布参数为p的（0-1）分布pB(n,p)np参数为p的几何分布例1.6已知10件产品中有2件次品，求任意取3件中次品数的数学期望．解以X表示任取3件中次品的个数，可取值为0,1,2，其分布律为例1.7设X在[a,b]上服从均匀分布，求E(X)．解X的概率密度为例1.8设X服从参数为的指数分布，求E(X)．解X的概率密度为例1.9设，求．解X的概率密度为分布期望概率密度区间(a,b)上的均匀分布参数为的指数分布N(,2)常见连续

5、型r.v.的数学期望1.2随机变量的函数的数学期望定理1.1设随机变量Y是随机变量X的函数:Y=g(X).（1）若X为离散型r.v.,概率分布为（2）若X为连续型r.v.，其概率密度为f(x)，如果广义积分如果绝对收敛，则随机变量的数学期望是绝对收敛，则随机变量的数学期望是注：求随机变量的函数的数学期望方法（1）先求随机变量Y的分布,再求数学期望（不常用）.（2）直接应用定理1.1（常用）。例1.10设X的分布律为X－2－101/21P1/61/31/41/121/6求,.解例1.11设，求．解例1.12设X在区间(0,a)上服从

6、均匀分布，求的数学期望.解X的密度为则例1.13设X的概率密度为，求,解定理1.2设随机变量Z是X、Y的函数Z=g(X,Y)，（2）若(X,Y)为二维连续型随机变量,联合概率密度为（1）若(X,Y)为二维离散型随机变量，联合分布律为如果绝对收敛，则随机变量Z的数学期望是则随机变量Z的数学期望是f(x,y)，如果绝对收敛，例1.14设(X,Y)的联合密度为求E(X)、E(XY)．解例1.15设(X,Y)~N(0,1;0,1;0),求的数学期望.解例1.16设X~N(0,1),Y~N(0,1),X,Y相互独立，求E(max{X,Y})

7、.D1D2解1.3数学期望的性质设C为常数,和都存在。性质1E(C)=C．性质2性质3证只证明连续型随机变量情形，离散型的证明从略．设(X,Y)的概率密度为f(x,y)，则有分别为fX(x)、fY(y).则有f(x,y)=fX(x)fY(y),于是性质4若X、Y相互独立，则E(XY)=E(X)E(Y)．证只对连续型加以证明．设(X,Y)的联合密度为f(x,y),关于X、Y的边缘密度注：若E(XY)=E(X)E(Y)，X,Y不一定独立。反例但解例1.17设X与Y独立，求．注不是所有的r.v.都有数学期望例如柯西(Cauchy)分布的

8、密度函数为但发散它的数学期望不存在!2.1方差及其计算公式§1方差引例甲、乙两射手各打了6发子弹,每发子弹击中的环数分别为：甲10,7,9,8,10,6,乙8,7,10,9,8,8,问哪一个射手的技术较好？解首先比较平均环数甲=8.3,乙=8.3再