流体力学第七章不可压缩流体动力学基础

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1、第七章不可压缩流体动力学基础在前面的章节中，我们学习了理想流体和粘性流体的流动分析，按照水力学的观点，求得平均量。但是，很多问题需要求得更加详细的信息，如流速、压强等流动参数在二个或三个坐标轴方向上的分布情况。木章的内容介绍流体运动的基木规律、基木方程、定解条件和解决流体问题的基木方法。第一节流体微团的运动分析运动方式：①移动或单纯的位移（平移）②旋转③线性变形④角变形。位移和旋转可以完全比拟于刚体运动，至于线性变形和脚变形有时统称为变形运动则是基于液体的易流动性而特有的运动形式，在刚体是没有的。在直角坐标系中取微小立方体进行研究。4-、平移：如果图（a）所示的基体各角点的质点速度向量完

2、全相同时，则构成duv..^dydtda==上-力dydydj3=dxdx^dtclx了液体基体的单纯位移，其移动速度为以、匕、処。基体在运动中可能沿直线也可能沿曲线运动，但其方位与形状都和原来一样（立方基体各边的长度保持不变）。二、线变形：从图（b）屮可以看出，由于沿y轴的速度分量，B点和C点都比A点和D点大了学dy,而鉴就代表狞=1口寸液体基体运动II寸，在单位吋间内oyoy沿y轴方向的伸长率。duxduydxdydz三、角变形（角变形速度）Cda-e=d/3^e・・・&=〃a；d0角变形：丑空冷学+単22ldydx2(dz+西dx丄〔西KdzdyJ四、旋转（旋转角速度）1（°竹du

3、x、OxCD.——02(dxdy1du.2、dydz?1%如、2、dzdxj即,一169=-2d_dxau.那么，代入欧拉加速度表达式，得:ax=+ux+u.3x+ux0.+u_cox-uxcodtdtdx-y八“)duvduvduv门“du.du.du.门c%=示二击+见石+Uy°x+u£'+u>a)x~UxCOy各项含义：（1）平移速度（2）线变形运动所引起的速度增量（3）（4）角变形运动所引起的速度增量（5）（6）微团的旋转运动所产生的速度增量流体微团的运动可分解为平移运动，旋转运动，线变形运动和角变形运动Z和。——亥姆霍兹速度分解定理第二节有旋运动1、无涡流（势流）如在液体运动中

4、，各涡流分量均等于零，即则称这种运动为无涡流。dududydzdur•4—duzdzdxduv如当满足无涡流条件时,dx»,满足柯西条件，就有:uy=M-0X沏¥Maz°即流速势。满足此条件的流动（无涡流）就叫势流。（下一章作详细介绍）2、有涡流：如在液体运动中，涡流分量©.、.及©中间的任一个或全部不等于零，则这样的液体运动就叫做旋流或有涡流。自然界中的实际液体儿乎都是这种有涡的流动。涡线：流场屮一些假想的线，在所讨论的瞬时，涡线上各个质点的涡旋向量都与此线在该点处相切。9-X与流线同样的分析方法，得到涡线方程：dx_dy_dz©一叫一0涡量：设流体微团的旋转角速度为臥5z,J，则Q=

5、2^)=QJ+QJ+QiWh涡量，是与空间坐标和时间有关的矢量函数。其中Q,、Q、.和d是涡量在八八z坐标上的投影。根据旋转角速度的定义，有：可知，Vx5=du(duydzdzdx丿A等葺A如dz如C-duyduxdx「dxdy哈米尔顿算子是一矢量算子，V=drd-：dr—Z+—/+—k,dxdydz那么，V-Q=V.(Vxw)=O就自然满足。或者与成，—^+―^+―^=0oxuyaz即涡量的定义使z自然满足涡量连续性微分方程。例：已知某圆管(半径％)中液体流动的流速分布为:以遥必_(b+z2)]uy=0Uz=0试判断该流动是有涡流还是无涡流？并求涡线微分方程。0)二dzdz丿/=0dx

6、)Z4“1(duydux〃—■■—''1■•y2(dxdy丿4““所以，该流动是有涡流c将上三式代入涡线微分方程，—=^-=—,得:©®0dy_dzy]yJz-^―y4〃4〃ydy+zdz=0积分后，得到：z2+y2=C涡线是和管轴同轴的同心圆。涡管：在涡量场屮任意画一封闭曲线，通过这条曲线上的每一点所做出的涡线构成一管状的曲面，称为涡管。涡通量：设A为涡量场中一开口曲面，微元面dA的外法线单位向量为斤，涡量在斤方向上的投影为Q〃，则面积积分J=Jp•dA==^£lxdydz+QYdzdx+£lzdxdy称为涡通量。有旋运动的一个重要的运动学性质：在同一瞬间，通过同一涡管的各截面的涡通量

7、相等。证明：我们知道，根据涡量的定义，可以很容易知道，涡量白然满足涡量连续性微分方程,即：学+孕+孕=o,对这个微分方程在任意封闭体积上作积分，也是满oxdydz足的，若任意体积取为，一段涡管和两个截面A1和A2,就有:L+A2+A3可以将体积分化成封闭曲面积分:Qdydz+Qdxdz+^IMxdyayl=jQxdydz+£lydxdz+£l.dxdy+Qxdydz+£lxdxdz+£l.dxdy+LSlxdydz+Q、dxdz+^