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1、三等分任意角的方法探究姓名：孙开锋邮编：710072地址：西安市友谊西路127号三等分任意角的方法探究摘要：三等分角是古希腊几何三大作图问题之一，本文介绍了几种三等分角的方法，工程上利用仪器将任意一个角三等分，中考中出现的三等分角的问题分析，以及利用直尺和圆规进行三等分角的探索。关键词：三等分角尺规作图中考只准用直角和圆规，你能将一个任意的角进行两等分吗？这可太简单了，几T年前的数学家们就会做。纸上任意画一个角，以其顶点o为圆心，任意选一个长度为半径画弧,找岀弧与角的两边的交点，分别命名为A和B。然后分别以A点和B点为圆心，以同一个半径画弧，这个半径要大于A、B之间距离的一
2、半。找出两段弧的相交点C,用直尺把0和C连接起来，那么直线0C就将角AOB平分成了两部分。用同样的方法，我们可以把一个角任意分成4等分、8等分、16等分……，也就是说，只要你有耐心，可以把任意一个角等分为2的任意次方。但是，如果只用直尺和圆规，并且，这直尺还不能有刻度，你能将任意一个角三等分吗？三等分角大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，它和“立方倍积问题”、“化圆为方问题”一起被称为“古代三大几何难题”。古希腊的巧辩学派就提出了在只用直尺画直线、圆规画弧的限定下，将任意给定的角三等分的命题。很多伟大的数学家如阿基米德、笛卡儿、牛顿等都试图拿起直尺和圆规挑战自己的智力，
3、但终于都以失败告终。直至公元1837年，法国数学家闻脱兹尔宣布：“只准使用直尺与圆规，想三等分一个任意角是不可能的！”，才暂时了结了这宗长达几千年的数学悬案。但是，如果没有几何作图法的限制，任意角三等分问题当然可以解决,不妨举几个例子以共享。、利用工具三等分任意角图1ACED0F图2如图1所示，叫做“三等分仪”吧,CE二EG二DG,ME丄CD,弧ED是以G为圆心的半圆，故ME与半圆G相切于点E.具体操作：将该仪器置于乙403的内部，使得点C落在0A上，ME经过点0,半圆G与0B和切于点F,则OE,0G为ZAOB的三等分线。数理证明：分别连接OG,GF,故GF丄0B,而EG丄
4、0E,所以易证：AGOE^AGOF;同理可证厶GOE^ACOE;故可得到：ZCOE二ZGOE二ZFOG.所以，0E、0G为ZAOB的三等分线。二、中考中的三等分角题目：（广东佛山市）三等分一任意角是数学史上一个著名的问题，用尺规不可能“三等分一任意角”。下面是数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法：将给定的锐角ZAOB置于直角坐标系中，边0B在x轴上，边0A与函数y=-的图象交于点P,以P为圆心，以20P为半径作弧1兀交函数y二丄的图象于点R,分别过点P和R作x轴和y轴的平行线，两直线交于点M,连结0M得到ZMOB,则ZMOB=^ZAOBQ要明白帕普斯的方法,请
5、研究以下问题。（1）设P（Q,丄），R（伉；）求直线0M对应的丙数表达式（用含a、b的ab代表式表示）；（2）分别过点P和R作y轴与x轴的平行线，两直线相交于点Q,请证明点Q在直线0M上，并据此证明ZMOB=-ZAOB;（3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）。分析：三等分角问题是二千U!百年前古希腊人提出的几何三大作图不能问题之一。本题以数学家帕普斯借助函数给出的一种“三等分锐角”的方法为线索,提出了相关的问题，要求学生研究解决，颇有新意。同时，引导同学们了解数学史、了解数学家的探索过程，可以帮助同学们认识自我，建立学好数学的信心。为了减轻同学
6、们证明中的困难，命题者设计了两道简单的小题，用以过渡。对前两道小题，首先用待定系数法易求得直线0M的解析式为y=[x。ab接着由于点Q的坐标（°,加满足）匸丄兀，因此可得点Q在直线0M上。bab有了上面的基础，再证明ZMOB=-ZAOB,就不太困难。简证如下：3・••四边形PQRM是矩形，MQ与PR交于点S。.・.SP=SQ=SR=SMPR,:.Zl=Z2・・・PR=20P,・・.PS=OP=-PR,:.Z3=Z4,乂・.・Z4=Z1+Z2=2Z1,即2Z3=2Z1,vQR//OB,.Zl=ZMOBo贝ljZ3=2ZM0B,即ZMOB=-ZAOBQ最后将（3）解答如下:方
7、法（1）因为钝角的一半是锐角，所以先把钝角平分为两锐角，再利用题给方法把相等的两锐角都三等分即可。方法（2）可把钝角分为一个直角和一个锐角，然后利用题给方法把锐角三等分后，再将直角利用作等边三角形（或其它方法）三等分即可。方法（3）若设已知钝角为・・・60。-型工=¥；可先将仅的补角三等33分得：角60。-竺，然后从大小为60。的角中通过作图去掉角60。-竺即可。33三、尺规作图的方法探究尺规作图三等份任意角，该问题历史长久，流传广泛，仍不断有人为之耗费精力，1936年8月18日《北京晨报》曾经发表一条消息说：郑州
