上通现代数学

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1、上通现代数学下达中学课堂数学高考压轴题的数学背景分析浙江平阳县第一中学(325400)何龙泉新加坡数学教育家李秉彝先生认为数学教育要“上通数学、下达课堂”。的确，屮学数学课堂上通数学并不容易，但数学高考题的编制却在十年前就做到了。通过对近十年来全国和部分省市数学高考题中若干典型试题的深入分析，我们可以看到，数学高考题特别是所谓的压轴题都有深刻的高等数学甚至现代数学背景。从表面看这些试题与其他的考题没什么两样，解题方法也是初等的，但若对它们深入剖析，我们就会发现，这些试题有的本身就是一道高等数学题，有的是现代数学家们正在研究的某些前沿问题的

2、一个特例，也有的则是某个现代数学概念以一种中学生能够接受的方式给出，然后以此出发通过逻辑推理得出一些“好”的结论。这些试题的共同特点是要求考牛有较强的数学思维能力，特别是演绎推理能力，而这些能力正是后续学习中特别重要的。1、高等数学问题初等方法解决有的高考题在内容上属于高等数学范围，但可以用初等的方法解决，这样的问题具有作为检验考生数学能力的功能，常被选作考题。[题1]・(2005年全国高考数学全国卷理22题)(I)设函数f(x)=xlog2x+(l-x)log2(l-x)(0

3、满足片+E+4+…+匚”=1,证明：P{log2P2log2P2+•••+P2„log2P2„>-n［解］：(可参看有关资料，以下同)略。背景：我们对第(II)小题作进一步的分析，耍证Plog2P+P?log2P2+・・・+P2„log2P2„>-n只要证log2+log2P,F2+…+log2//三_n=log22一"2“1即^（-）m/=i2上式的左边为一乘积且不等号是“鼻”，我们自然会想到均值不等式2abci+b此式的左边为正数Q”的几何平均数而右边是调和平均数，为了看清它和(1)式的关系，我们把这个式子稍作变形。1n~~tt•

4、•2a2b再把上式推广，得到：若Q、a>be/?+(2)式表示的仍是％的几何平均数和调和平均数之间的关系，只不过这里的平均数是加权平均数，我们再把⑵式推广到H个正数的均值不等式。命题：设Q］、、…、anER+Q］、、…、anG且。］+$+…+色=1,贝U…终/上(3)「a,a.an4an(3)式的证明参看文献［1］第136页命题50o由⑶易得：11-2z(--l2n--®亠pr+♦1++片一A>-nP2Q?a?--A£所以(1)式成从而原命题成M。通过上面的分析我们可以看到，题1实际上是一道斤个正数的加权平均数问题，其背景就是均值不等式

5、(3)。把握了这一点，我们就可以更一般地考察这个问题。如原题中对数的底是2,我们可以把它改为3,那么以下命题成立。命题：设正数片,？鬥,••迟”满足，£疗=1则£^.log3P等等。/=1/=12、隐不动点概念蕴动力学理论不动点是现代数学中的重要概念之一，而应用十分广泛的不动点定理实际上是一个满足一定条件的空间到其自身的连续映射的性质的定理。自从1997年全国高考数学卷中出现一道以不动点为背景的试题以来，类似的考题己多次出现，如1999年全国高考卷(理)23题也有相同的背景。有的试题甚至干脆给出了不动点的定义(如2002年上海春季招生理2

6、2题)。这里我们通过对1997年全国高考数学卷(理)24题的分析，探讨该题所隐藏的背景。［题2］•设二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两个根X］、不满足0V兀［V兀2V丄a(I)当XE(0,Xj)时，证明：x

7、贝V在条件00/•0

8、（X［—兀,）贝ljOvqvl且0vI+a｛x-x2）0•I/（兀i）一/（x）=坷一fM=（兀i一兀）［1+a（x一兀2）］V9（兀1一x）当0vxvx］<^v丄时上式成立