20150121实变函数-期末考试卷

《20150121实变函数-期末考试卷》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、浙江师范大学《实变函数》考试卷（2014-2015学年第一学期）考试方式闭卷使用学生初阳2012级考试时间120分钟出卷时间2015年01月21日说明：考生将全部答案都写在答题纸上，否则作无效处理。一、（70分）知识性与概念性题目（一）、请判别下述各题正确与否（每题2.5分，共50分）1在蔡梅洛-弗兰克尔公理体系内，设八是一个指标集，是一族集合，=则7=｛以"

2、以4是一个集合。2C-(C-A)3（AuBuC）-（AABAC）=•［属于A、B、C中刚好两个集合的元素全体｝4一个集合为无穷集的充要条件为

3、它与自己的-•个真子集对等。5冇限个可数集的积集仍为可数集，可数个冇限集的积集也是可数集。6jo，i｝"=c，^=c。7—个非空集苦关于冇限交运算封闭、关于任意并运算封闭，则它是非空集X上的一个拓扑。8设X为一非空集，，为X的子集组成的一个非空集，若炎关于可列并运算、取余运算封闭，则称妒为X上的一个（7-代数。9若非空集X上有函数满足：⑻.非负性:p（x,y）>0；（b）.对称性:p（x，y）=/?（y，x）;（c）.三角不等式:/?（%,z）

4、间（或称距离空间）。10可数集的Jordan外测度为0，从而Lebesgue测度为0。11有界开集一定为Jordan可测的，从而也是Lebesgue可测的。12若d(E，F)〉0,^imEuF)=m(E)+fn(F)o13对于Lebesgue可测集列，若丄Ainf^m(Ak)<+oo,m(Ak)Vm(A)o14任何正测集都含杏Lebesgue不可测子集。15设£为/?"屮的Lebesgue可测集，m（E）>Q,则有怂〉0,使得向量差集E-E=｛x-y:x9yeE｝〕6（0為）。16设X为中非空巢可

5、测集，X则/为Lebesgue可测当.FL仅当VMeR,sZ?1也LebesgueN•测，则gofLebesgue川•测。18m近/„->/二存在子列｛九｝,使得人广/。19若/eZ?(£)，则｛x:

6、/(x)

7、=oc｝为Lebesgue零测集。20若/在/?〃xV上非负Lebesgue可测，则对任意xe/?'ffy）=/Uy）作为y的闲数为Lebesgue可测。（二）、请按要求给出答案（共2

8、0分）1、（10分）请叙述下述定义（任选1题）：（1）.请给出V上Lebesgue可积函数及其积分的定义。(2).请给出有界区间叫上有界变差函数与绝对连续函数的定义。2、(10分)请说明(任选1题)：(1)•若/为非负可测阐数，则匕/⑺也=0当且仅当：/U)=0(M.)。(2).若/e/?(£)，则｛x:

9、/(x)

10、=oc｝为零测集。二、(90分)理论证明题(特题15分)(1).下列三题任选两题(i)简单叙述可数集的定义；证明：［0，1］是不可数的。(ii)简单叙述区间［0，1］中Cantor集C的

11、定义；证明：Cantor集C与区间［0,1］等势。(iii)简单叙述不可数集的定义；设A为可数集，B为不可数集，证明：=云。(2)下列两题任选一题(i)叙述/?"屮Cauchy列的定义；设为7?2屮的一Cauchy歹I」，证明：收敛。(ii)没为奋界W集，/:£4妒为连续蚋数，证明：/一致连续。(3)下列三题任选两题(i)若/:/?〃47非负可测，则存在一可测简单阁数列｛9n｝使得q)nl/处处成立，并且在使得/为有界的任意可测集上一致收敛。(ii)叙述并证明Caratheodory定理。(iii)

12、叙述并证明Levi单调收敛定理。(4)K列W题任选一题(i)若非负可测简单函数/可表成/=，其巾｛£川句为，中一组Lebesgue可测集，｛人^脚,为一列非负实数，证明：Rnf(x)dx=zr“戸(〜)的值与f的表示方A无关。(ii)若/为V上非负可测函数，则对任意非负可测简单函数列｛抑｝,若仰T/儿乎处处成立,则J/rf(x)dx=［mR„(pk(x)dx,从而外(%)也与批｝以的选収无•欠。三、(40分)讨论题(毎题40分，任选1题)1>设aUhl为^上一列处处有限的可测闲数，/也处处有限

13、且可测。(1)(12分)请给出在/?"上乎处处收敛、依测度收敛、近一致收敛于/的定义。(2)(12分)诺给出这三个收敛性之间的关系。(3)(8分)请证明：｛々｛.AW｝匕1不收敛于/(4｝=^,„>i<4.｛X人(x)-/(x)1/$｝。(4)(8分)下血两题选做-•题：a).假设存在非负可积函数使得

14、人⑴

15、SF(x)几乎处处成立(VO1)，证明:荇｛Ak>i几乎处处收敛于/，则｛Ah>i一定近一致收敛于/。b).假设£(=/?"为有界集，证明：若｛人｝⑵几乎处处收敛