福建省高等代数与线性代数课程建设第十三次研讨会

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1、福建省《高等代数》与《线性代数》课程建设第十三次研讨会矩阵多项式与可逆矩阵的确定莆田学院数学系杨忠鹏，陈梅香，林志兴，晏瑜敏，陈智雄，张金辉,王海明,戴培培,曾闽丽2011.4.23宁德矩阵多项式与可逆阵的确定问题解决的一种可行的解决方法问题的已有解法问题的提出1.问题的提出是关于的次多项式，为阶方阵，称为A的m次多项式。设（见[1,P45],[2,P7]等）。由于学时的限制，与数学专业的教学相关，矩阵多项式的定义在矩阵运算之后就作为正式的教学内容，这是有意义的，是值得借鉴的处理方式。关于矩阵多项式本身的训练和例题习题在“线性代数”教材并不多见。因此

2、多数情况下，这样很有价值的教学内容在某种意义上讲只是走了过场，或者有些教师就不讲这个内容。这固然是学时限制所致，但缺乏有启发性的相关题目也是一个重要的原因。问题1.1.1(见[1,P5])设阶方阵证明及都可逆，求其逆。满足问题1.1.2(见[7,例2.22])设阶方阵满足证明和都可逆，求其逆。问题1.1.3（见[9,P52]）设A满足问题1.1.4（见[9,P52]）设A满足问题1.1.5（见[11,P98]）设A为n阶矩阵，满足问题1.1.6（见[12,P42]）问题1.1.7（见[13，P57]）设为n阶矩阵问题1.1.8（见[2，例1.31]）

3、已知n阶矩阵A满足证明和不同时可逆。证明和不同时可逆，并求出它们的逆矩阵。问题1.1.10(见[6,P88])设阶方阵满足问题1.1.9(见[6,P88])设阶方阵满足（C）A必不可逆（D）A+E必不可逆问题1.1.11（见[9,P51]）设A为n阶方阵，且,则问题1.1.12曾作为2001年全国硕士生入学考试数学一的试题.问题1.1.12设A满足问题1.1.13设阶矩阵A满足矩阵方程问题1.1.13曾作为1988年全国硕士生入学统一考试数学四的试题.问题1.1.15（见[3，例7，P42]）若方阵A满足方程问题1.1.14（见[8,P81]）设证明

4、A+3E为正交矩阵。证明A-KE（其中k为任意实数）可逆，并求它的表达式。问题1.1.16（见[9,P52]）设n阶矩阵A满足问题1.1.17（见[2，P56]）设证明问题1.2.1（见[7，例2.23]）设n阶矩阵A≠0满足A3=0，证明E-A，A+E都可逆，并求逆。问题1.2.2（见[2，习题一（B），34]）设方阵A满足A3-2A2+9A-E=0，问A,A-2E是否都是可逆矩阵?如果是，求其逆。问题1.2.3（见[21，P43,13（2）]，[22,P49,18(2)]）设A3=3A(A-E)，证明E-A都可逆，并求逆。问题1.3.1曾是199

5、0硕士生入学统一考试1990年数学三的试题（见[15，P333]），几乎所有的线性代数和高等代数教材都将问题1.3.1化为基本问题。阶矩阵，若（k为整数），证明可逆，并写出的表达式。问题1.3.1（见[4,习题1.4.9]，[5,P94]，[14,习题3,3-4]，[21,P34,6],[22,P39,6])问题1.4.1（见[11，习题3.2.8]，[21,P50,3(2)]）设Jn为所有元素全为1的n（>1)阶方阵，2．问题的已有解法下面抄录的[11]对问题1.1.5的解答：(1)由题设条件移项得，等式左边提出公因子A得，则A为可逆矩阵，且(2)

6、.将作恒等变形这样的解法，对问题1.1.1-1.1.13中矩阵等式的系数为常数且有很好性质的情况下是可行的。当然像问题1.1.15-1.1.17这样系数为字母的解决就得不那样容易了。[7]给出了问题1.2.1的解法如下：因为且后，问题就显得复杂了。问题1.1.1-1.1.13都是由一个矩阵等式，来确定2或3个矩阵性来说是相当有意义的。的可逆性求相应矩阵。对给定的矩阵等式来说，能确定多少个形如问题1.1.16和1.1.17描述的A-kE的可逆阵，这类问题就一般已有文献都是将给定的矩阵等式，看成是矩阵的线性运算与乘法运算的恒等变形，应用可逆矩阵的重要性质

7、来解答，基本上没有将教材上已经介绍的矩阵多项式与问题解决相联系。实际上第一节给出的问题中矩阵等式都是以矩阵多项式的形式3.问题解决的一种可行方法出现的。这样可以把问题看成是由给定矩阵A的化零多项式来确定形如A-kE的可逆性及逆阵。定理3.1（3.1）证明：由多项式的导数的性质及泰勒中值定理知（3.2）例3.2定理3.3这与A-kE可逆矛盾。定理3.4题设同于定理3.1且设对的带余除法式（3.3）如果，则可逆且这里多项式g(x)由（3.3）确定.（3.4）证明：由带余除法的性质知（3.3）中，且是多项式，这样当时，这说明可逆，结论成立。除式为一次因式的

8、带余除法，有更为简单“综合除法”的形式。这样将矩阵多项式与化零矩阵等式相结合，可实施以下的步骤：对给定的化零