2018年高考数学黄金100题系列第15题指数函数文

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1、第15题指数函数I．题源探究·黄金母题【例1】对于函数：（1）探索函数的单调性；（2）是否存在实数使函数为奇函数？【解析】（1）在上是增函数．证明：任取，且，＝＝－＝．因为，所以．又因为，所以，即，所以，即，所以函数在上是增函数．（2）假设存在实数使为奇函数，则＋＝0，即，所以＝，即存在实数使为奇函数．精彩解读【试题来源】人教版A版必修一83页B组第34题【母题评析】本题以指数型函数为载体，考查函数的奇偶性与单调性问题．此类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式之一，达到考查运算能力、分析与探究问题的能力、逆向思维能力的目的．【思路方法】考察指数型函数与对数型函数的奇偶性单调性通常有两种

2、常规方法解决：一是利用定义来解决；二是利用函数单调性与奇偶性间的运算性质解决．已知性质求相关的参数问题通常要建立方程来解决．II．考场精彩·真题回放【例1】【2017高考北京卷文理】已知函数，则（）A．是偶函数，且在R上是增函数B．是奇函数，且在R上是增函数C．是偶函数，且在R上是减函数D．是奇函数，且在R上是增函数【命题意图】本类题考查指数函数的奇偶性与单调性的应用．【考试方向】21【答案】B【解析】，所以函数是奇函数，并且是增函数，是减函数，根据增函数-减函数=增函数，所以函数是增函数，故选B．【例2】【2017高考山东卷】若函数(e=2．71828，是自然对数的底数)在的定义域上单调递

3、增，则称函数具有M性质，下列函数中具有M性质的是A．B．C．D．【答案】A【解析】由A，令，，则在R上单调递增，具有M性质，故选A．【例3】【2017高考新课标III】设函数则满足的x的取值范围是__________．【答案】【解析】由题意得：当时恒成立，即；当时恒成立，即；当时，即；综上x的取值范围是．这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等，往往以考查指数运算构成的指数型函数奇偶性、指数函数单调性的应用、指数函数的图象、在实际生活中的应用．【难点中心】（1）处理含有参数的指数型函数的单调性与奇偶性时，常常要运用逆向思维的方法，体现待定系数法的应用；（2）应用指数

4、函数的图象时，常常涉及不太规范的指数型函数的图象，其作法可能较难；（3）解决指数不等式问题的方法就是化为同底的指数或对数的形式，再利用函数的单调性转化为熟悉的代数不等式求解；（4）在实际生活中的应用时如何建立与指数相关的函数模型，也是相对较难．III．理论基础·解题原理考点一　指数与指数幂的运算1．根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中，且∈*21．负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作．当是奇数时，，当是偶数时，2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：（1）；（2）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．3．实数指数幂的运算性质①；②；③．考点二　指数函数的定

5、义一般地，函数（，且）叫做指数函数，其中是自变量，函数定义域为．考点三　指数函数图象与性质图象特征函数性质向、轴正负方向无限延伸函数的定义域为图象关于原点和轴不对称非奇非偶函数函数图象都在轴上方函数的值域为函数图象都过定点（0，1）自左向右看，图象逐渐上升自左向右看，图象逐渐下降增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1在第一象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于121图象上升趋势是越来越陡图象上升趋势是越来越缓函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；函数值开始减小极快，到了某一值后减小速度较慢；考点四　指数函数的实际应用主要以指数型

6、函数的应用，因此建立此模型时注意确定参数及底数是解题的关键．IV．题型攻略·深度挖掘【考试方向】1．通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度中等或中等偏下，往往与函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、图象，以及不等式、方程有联系；2．在解答题中常常与导数相结合，考查函数的单调性、极值、最值等．【技能方法】1．分数指数幂与根式的关系根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．2．利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在上，值域是或；（2）若，则；取遍所有正数当且仅当；（3）对于指数函数，总有；（4）当时，若，则；当时，若，则．【易错指

7、导】1．忽视隐含条件，如化简；2．平方开方转换时不等价，如化简：；3．混用运算性质，如化简：；4．对指数函数的定义理解不透彻，如已知函数为指数函数，则是多少？5．忽视对底数的讨论而致错，如求函数的定义域；6．忽视换元后新元的取值范围，如求函数的值域；7．忽视复合指数型函数的单调性的复合性，如求的单调区间．V．举一反三·触类旁通考向1指数型函数的定义域【例1】【2018北京海淀模拟】函数的定义域为_______