[高等教育]计算机辅助几何造型技术-第2章

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1、CAGD计算机辅助几何造型技术敖志强zhiqiangao@163.com第二章三次样条曲线与参数样条曲线拉格朗日插值多项式（点斜式），（两点式），2021/8/252南昌航空大学航机学院第二章三次样条曲线与参数样条曲线可用来解决对有限多个数据点的代数多项式插值问题。但数据点越多，插值多项式的次数就越高。高次多项式一不容易计算，二会在曲线上产生不希望有的波动三次样条函数及其力学背景按给定的数据将型值点准确地点在图板上（打点）。采用一种称为“样条”的工具，用压铁强迫它通过这些型值点，再适当调整这些压铁，让样条的形态发生变化，直至取得合适的形状，才沿着样条画出所需的曲线

2、。2021/8/253南昌航空大学航机学院第二章三次样条曲线与参数样条曲线把样条看成弹性细梁，压铁看成作用在这梁的某些点上的集中载荷，那就可把上述画模线的过程在力学上抽象为求弹性细梁在外加集中载荷作用下产生的弯曲变形。欧拉公式平面曲线的曲率2021/8/254南昌航空大学航机学院第二章三次样条曲线与参数样条曲线对于“小挠度”曲线方程近似为由于在各小段上M是线性函数，所以y(x)是x的三次多项式在整个梁上，y(x)就是分段三次函数，但它具有直到二阶的连续导数（弯矩M是连续的折线函数），这一力学背景就导致了数学上三次样条函数概念的建立。2021/8/255南昌航空大学

3、航机学院第二章三次样条曲线与参数样条曲线三次样条函数的定义设在区间其中已知插值条件为若有函数y(x)适合下列条件y(x)在整个区间上二次连续可导在每一个子区间上，y(x)是的三次多项式则称y(x)是关于已知插值条件的三次样条函数,由样条函数构成的曲线称为样条曲线。2021/8/256南昌航空大学航机学院第二章三次样条曲线与参数样条曲线用型值点处的一阶导数表示的三次样条曲线在区间[0,1]上带一阶导数的插值问题构造曲线段的方程为求一阶导后有将四个已知条件代入以上两式，即可解得方程的四个系数2021/8/257南昌航空大学航机学院第二章三次样条曲线与参数样条曲线可改写

4、为令：则曲线段方程为2021/8/258南昌航空大学航机学院第二章三次样条曲线与参数样条曲线称为埃尔米特基函数或三次混合函数混合即为将已知条件混合在一起，突出已知条件在构造曲线过程中的作用专门控制端点的一阶导数值对曲线形状的的影响，而同端点的函数值无关专门控制端点的函数值对曲线形状的的影响，而同端点的导数值无关2021/8/259南昌航空大学航机学院第二章三次样条曲线与参数样条曲线一些常用值2021/8/2510南昌航空大学航机学院第二章三次样条曲线与参数样条曲线四个混合函数的图形2021/8/2511南昌航空大学航机学院第二章三次样条曲线与参数样条曲线现在解决在

5、任意区间上带一阶导数的插值问题设对应于区间两端的函数值与一阶导数值分别为：进行变量转换2021/8/2512南昌航空大学航机学院第二章三次样条曲线与参数样条曲线第i段曲线的表达式矩阵形式2021/8/2513南昌航空大学航机学院第二章三次样条曲线与参数样条曲线上式确定的函数y(u),它本身及一阶导数具有连续性但二阶导数是否连续还不能确定，取决于m的取值，上式对x求导两次后2021/8/2514南昌航空大学航机学院第二章三次样条曲线与参数样条曲线考察连续性对于第i段曲线的末点（u=1）对于第i+1段曲线的始点（u=0）2021/8/2515南昌航空大学航机学院第二章

6、三次样条曲线与参数样条曲线让两段曲线的二阶导数在该点连续，则两式必须相等引入记号2021/8/2516南昌航空大学航机学院第二章三次样条曲线与参数样条曲线可写为称为样条函数的m-关系式虽然此时还不知道各内节点上的但正可以通过这些为保证二阶导数连续而建立起来的关系式解出这些关系式是包含n+1个未知数方程的个数是n-1个，还不足以完全确定这些未知数还必须添加两个条件。一般取端点条件2021/8/2517南昌航空大学航机学院第二章三次样条曲线与参数样条曲线端点条件1已知曲线在两端点处的斜率就化成关于n-1个未知量，n-1个线性方程其中第一个方程为第n-1个方程为从而即可

7、求出唯一的解。2021/8/2518南昌航空大学航机学院第二章三次样条曲线与参数样条曲线给定两端点的二阶导数端点条件2则在二阶导数公式中：i=0时i=n时：特别当两端二阶导数为0时，这种端点条件称为自由端点条件当曲线在端点出现拐点或与一直线相切时，可以使用2021/8/2519南昌航空大学航机学院第二章三次样条曲线与参数样条曲线在求得所有的mi后分段三次曲线即可确定整条三次样条曲线的表达式为：2021/8/2520南昌航空大学航机学院第二章三次样条曲线与参数样条曲线用型值点处的二阶导数表示的三次样条曲线区间[0,1]上对应于两个端点的函数值与二阶导数值分别为构造曲

8、线段的方程