高中数学第二讲参数方程一曲线的参数方程导学案新人教a版选修4-4

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1、一　曲线的参数方程庖丁巧解牛知识·巧学一、参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x、y都是某个变数t的函数，即（＊）.并且对于t的每一个允许值，由方程组（＊）所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组（＊）就叫做这条曲线的参数方程，联系x、y之间关系的变数t叫做参变数，简称参数.相对于参数方程来说，以前所学习过的关于x、y的直角坐标方程，叫做曲线的普通方程.在求曲线的方程时，一般需要建立曲线上动点P（x，y）的坐标x,y之间满足的等量关系F（x，y）＝0，这样得到的方程

2、F（x，y）＝0就是曲线的普通方程；而有时要想得到联系x,y的方程F（x，y）＝0是比较困难的，于是可以通过引入某个中间变量t，使之与曲线上动点P的坐标x,y间接地联系起来，此时可得到方程组即点P的运动通过变量t的变化进行描述.若对t的每一个值，由方程组确定的点（x，y）都在曲线C上；反之，对于曲线C上的每一个点（x，y），其中x,y都是t的函数，则把方程组叫做曲线C的参数方程，其中的t称为参数.在具体问题中的参数可能有相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意义.疑点突破参数的选取应根据具体条件来考虑

3、.但有时出于题目需要，也可以选两个或两个以上的参数，然后再设法消去其中的参数得到普通方程，或剩下一个参数得到参数方程.但这样做往往增加了变形与计算的麻烦，因此参数的选取一般应尽量少.一般说来，选择参数时应注意考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标(x,y)都不可能由参数取某一值唯一地确定出来；二是参数与x、y的相互关系比较明显，容易列出方程.深化升华参数法在求曲线的轨迹方程时是一种常用的甚至是简捷的解题方法.参数的思想方法就是在运动变化的哲学思想指导下的函数的思想方法，因此也可认为引入参数就是引入函数的自

4、变量.二、圆的参数方程1.圆心在原点、半径为r的圆的参数方程：(θ为参数).2.圆心为O1(a,b)，半径为r的圆的参数方程：(θ为参数).参数θ的几何意义是：以x轴正半轴为始边，以OP为终边的角（其中O为坐标原点，P为圆上一动点）.圆的参数方程还可以表示为x=(θ为参数).5方法归纳有时从参数方程看不出它是否表示圆，可通过消去参数转化为普通方程判断其是否表示圆.三、参数方程和普通方程的互化1.化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去

5、法.2.化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系x=f(t)〔或y=φ(t)〕，再代入普通方程F（x，y）＝0，求得另一关系y=φ(t)〔或x=f(t)〕.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率,某一点的横坐标（或纵坐标）.误区警示在将曲线的参数方程化为普通方程时，不仅仅是要把其中的参数消去，还要注意其中的x、y的取值范围,即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性.四、参数方程与普通方程的区别与联系最明显的区别是其方程形式上的区别；更大的区别是

6、普通方程反映了曲线上任一点坐标x,y的直接关系，而参数方程则反映了x,y的间接关系.曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许的取值就可得到曲线上的一个对应点，反过来对于曲线上任意一个点也必然对应着其中的参数的相应的允许取值.尽管参数方程与普通方程有很大的区别，但它们之间又有着密切的联系，这种联系表现在两方面：（1）这两种方程都是同一曲线的不同的代数表现形式，是同一事物的两个方面；（2）这两种方程之间可以进行互化，通过消参可以把参数方程化为普通方程，而通过引入参数，也可把普通方程化为参数方

7、程.需要注意的是，在将两种方程互化的过程中，要注意两种方程（在表示同一曲线时）的等价性，即注意参数的取值范围对x,y的取值范围的影响.联想发散需注意的是，不是所有的参数方程都可以化为普通方程，有些虽然可以化为普通方程，但是普通方程非常复杂，不便于对其性质的研究，如圆的渐开线和摆线的参数方程，一般都是研究其参数方程.问题·探究问题1曲线的参数方程和普通方程既有各自的优点也有各自的缺点.为了利用各自的优点，有时候需要把参数方程转化为普通方程，有时候需要把普通方程转化为参数方程.那么，如何把一个参数方程化为普

8、通方程，把一个普通方程化为参数方程呢？在普通方程与参数方程互化的过程中，又需要注意哪些问题呢?探究：把参数方程化为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消参法、加减消参法、恒等式（三角的或代数的）消参法；把普通方程化为参数方程的基本思路是引入参数，是消参的逆过程，即选定合适的参数t，先确定一个关系x=f(t)〔或y=φ(t)〕，再代入普通方程F（x，y）＝0，求得另一关系y=φ(t)〔或x=f(t)〕.一般地，常选择的参数有角、