高中数学第二章数列2.2.2等差数列的前n项和学案新人教b版必修5

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1、2.2.2　等差数列的前n项和1．理解等差数列前n项和公式的推导过程．2．掌握等差数列前n项和公式，并能利用前n项和公式解决有关等差数列的实际问题．3．熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中的三个量求另外的两个量．1．等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式Sn＝________Sn＝________(1)倒序相加法是解决等差数列求和问题的基本方法，利用倒序相加法可以推出等差数列的前n项和公式．(2)等差数列的前n项和公式有两个，一共涉及a1，an，Sn，n，d五个量，通常已知其中三个量，可求另外两个量，解答方法就

2、是解方程组．(3)当已知首项a1和末项an及项数n时，用公式Sn＝来求和，用此公式时常结合等差数列的性质．(4)当已知首项a1和公差d及项数n时，用公式Sn＝na1＋d来求和．【做一做1－1】已知数列{an}为等差数列，a1＝35，d＝－2，Sn＝0，则n等于(　　)．A．33B．34C．35D．36【做一做1－2】等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋a17＝10，则S19的值为(　　)．A．55B．95C．100D．不能确定2．等差数列前n项和公式与函数的关系由于Sn＝na1＋d＝n2＋(a1－)n，当d≠0时，此公式可看做二次项系数为，一次项系数为(a1－)，

3、常数项为0的________，其图象为抛物线y＝x2＋(a1－)x上的点集，坐标为(n，Sn)(n∈N＋)．因此，由二次函数的性质立即可以得出结论：当d＞0时，Sn有最____值；当d＜0时，Sn有最____值．数列中的最值问题可以根据二次函数的最值加以求解，这也是利用函数解决数列问题的一个重要应用．6【做一做2－1】已知等差数列{an}的通项公式an＝19－2n，则{an}的前________项和最大．【做一做2－2】已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－12n，则当n等于________时，Sn最小．一、关于等差数列中奇数项和、偶数项和的问题剖析：(1)当等差数列{

4、an}有偶数项时，设项数为2n，设S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n，①S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1，②①－②，得S偶－S奇＝nd.①＋②，得S偶＋S奇＝S2n.，得＝＝＝.(2)当等差数列{an}有奇数项时，设项数为2n＋1，设S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n＋1，③S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n，④③－④，得S奇－S偶＝a1＋nd＝an＋1.③＋④，得S偶＋S奇＝S2n＋1＝(2n＋1)an＋1.，得＝＝＝.综上，等差数列奇数项和、偶数项和有如下性质：(1)项数为2n时，S偶－S奇＝nd，S偶＋S奇＝S2n，＝.(2)项数为2n＋1时，S奇－S偶＝a

5、1＋nd＝an＋1，S偶＋S奇＝S2n＋1＝(2n＋1)an＋1，＝＝.熟练运用这些性质，可以提高解题速度．除了上述性质外，与前n项和有关的性质还有：①等差数列的依次连续每k项之和Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…组成公差为k2d的等差数列．②若Sn为数列{an}的前n项和，则{an}为等差数列等价于{}是等差数列．③若{an}，{bn}都为等差数列，Sn，Sn′为它们的前n项和，则＝.二、教材中的“？”如果仅利用通项公式，能求出使得Sn最小的序号n的值吗？6剖析：如果仅利用通项公式，也可求出最小序号n的值．因为该数列的通项公式为an＝4n－32，其各项为－28，－

6、24，…，－4,0,4，…，可以看出，所有负数或非正数的项相加其和最小时，n的值为7或8.三、教材中的“思考与讨论”1．如果已知数列{an}的前n项和Sn的公式，那么这个数列确定了吗？如果确定了，那么如何求它的通项公式？应注意一些什么问题？剖析：确定了，由公式an＝来求解，求解时注意要分类讨论，然后对n＝1的情况进行验证，能写成统一的形式就将a1合进来，否则保留分段函数形式．2．如果一个数列的前n项和的公式是Sn＝an2＋bn＋c(a，b，c为常数)，那么这个数列一定是等差数列吗？剖析：等差数列前n项和公式可以变形为Sn＝n2＋(a1－)n.当d≠0时，是关于n的二次函

7、数，如果一个数列的前n项和公式是Sn＝an2＋bn＋c(a，b，c为常数)，那么这个数列的通项公式是an＝只有当c＝0时，a1＝a＋b＋c才满足an＝2an－a＋b.因此，当数列的前n项和公式为Sn＝an2＋bn时，所确定的数列才是等差数列，这时，等差数列的公差d＝2a.题型一等差数列的前n项和公式的直接应用【例1】在等差数列{an}中，(1)已知a10＝30，a20＝50，Sn＝242，求n；(2)已知S8＝24，S12＝84，求a1和d；(3)已知a6＝20，S5＝10，求a8和S8；(4)已知a16＝3，求S31.分析：在等差数列的