高考数学一轮复习不等式第4课时不等式证明（2）教学案

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1、第4课时不等式证明（二）基础过关证明不等式的其它方法：反证法、换元法、放缩法、判别式法等．反证法：从否定结论出发，经过逻辑推理导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原命题是正确的证明方法．换元法：对结构较为复杂，量与量之间关系不甚明了的命题，通过恰当引入新变量，代换原命题中的部分式子，简化原有结构，使其转化为便于研究的形式的证明方法．放缩法：为证明不等式的需要，有时需舍去或添加一些代数项，使不等式的一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证题的目的，这种方法叫放缩法．判别式法：根据已知的式子或构造出来的一元二次方程的根，一元二次不等式的解

2、集，二次函数的性质等特征，确定其判别式所应满足的不等式，从而推出所证的不等式成立．典型例题例1.已知f(x)＝x2＋px＋q，(1)求证：f(1)＋f(3)－2f(2)＝2；(2)求证：｜f(1)｜、｜f(2)｜、｜f(3)｜中至少有一个不小于．证明:(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2(2)用反证法。假设｜f(1)｜、｜f(2)｜、｜f(3)｜都小于，则｜f(1)｜+2｜f(2)｜+｜f(3)｜＜2，而｜f(1)｜+2｜f(2)｜+｜f(3)｜≥f(1)＋f(3)－2f(2)＝2，出

3、现矛盾.∴｜f(1)｜、｜f(2)｜、｜f(3)｜中至少有一个不小于.变式训练1：设，那么三个数、、（）A．都不大于2B．都不小于2C．至少有一个不大于2D．至少有一个不小于2解:D例2.（1）已知x2＋y2＝1，求证:.（2）已知a、b∈R，且a2＋b2≤1，求证:.证明:(1)设∴(其中)-3-∵∴(2)令(其中k2≤1),则≤故原不等式成立.变式训练2：设实数x，y满足x2＋(y－1)2＝1，当x＋y＋c≥0时，c的取值范围是（）A.B.C.D.解:A例3.若，求证：证明：当时即故原不等式成立．变式训练3：若f(n)＝－n，g(n)＝n

4、－，(n)＝，则f(n)，g(n)，(n)的大小顺序为____________．解:g(n)>φ(n)>f(n)例4.证明：．证明：设，则(1－y)x2＋x＋1－y＝0(1)当y≠1时，∵x∈R，∴△＝1－4(1－y)2≥0得(2)当y＝1时，由(1－y)x2＋x＋1－y＝0得x＝0-3-而x＝0是函数的定义域中的一个值；∴y＝1是它值域中的一个值.综合(1)和(2)可知，，即．变式训练4：设二次函数，若函数的图象与直线和均无公共点．(1)求证：(2)求证：对于一切实数恒有证明：(1)由ax2＋(b－1)x＋c＝0无实根，得Δ1＝(b－1)2

5、－4ac<0由ax2＋(b＋1)x＋c＝0无实根得Δ2＝(b＋1)2－4ac<0两式相加得：4ac－b2>1(2)∵4ac－b2>1>0，∴a(x＋)与同号，∴｜ax＋bx＋c｜＝｜a(x＋)2＋｜＝｜a｜(x＋)＋≥>归纳小结1．凡是含有“至少”，“至多”，“唯一”，“不存在”或其它否定词的命题适宜用反证法．2．在已知式子中，如果出现两变量之和为正常数或变量的绝对值不大于一个正常数，可进行三角变换，换元法证明不等式时，要注意换元的等价性．3．放缩法证题中，放缩必须有目标，放缩的途径很多，如用均值不等式，增减项、放缩因式等．4．含有字母的不等

6、式，如果可以化成一边为零，另一边是关于某字母的二次三项式时，可用判别式法证明不等式成立，但要注意根的范围和题设条件的限制．-3-