高中数学第二章推理与证明课时作业（十九）数学归纳法新人教a版选修2-2

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1、课时作业(十九)　数学归纳法A组　基础巩固1．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是(　　)A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3时正确B．假设n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1时正确C．假设n＝k时正确，再推n＝k＋1时正确D．假使n≤k(k≥1)时正确，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N*)答案：B2．某同学回答“用数学归纳法证明

2、<＝(k＋1)＋1，∴当n＝k＋1时命题是正确的．由①②可知对于n∈N*，命题都是正确的．以上证法是错误的，错误在于(　　)A．从k到k＋1的推理过程没有使用假设B．假设的写法不正确C．从k到k＋1的推理不严密D．当n＝1时，验证过程不具体答案：A3．用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋1)，第二步证明由“k到k＋1”时，左端增加的项数是(　　)A．2k－1　　　　B．2kC．2k－1D．2k＋1答案：B4．用数学归纳法证明＋＋＋…＋<1(n∈N*，n≥2)，由“k到k＋1”时，不等式左端的变化是

3、(　　)A．增加一项B．增加和两项C．增加和两项，同时减少一项D．以上都不对答案：C5．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋＝2(＋＋…＋)时，若已知假设n＝k(k≥2)为偶数时命题为真，则还需要用归纳假设再证(　　)A．n＝k＋1时等式成立B．n＝k＋2时等式成立C．n＝2k＋2时等式成立D．n＝2(k＋2)时等式成立答案：B6．平面上原有k个圆，它们相交所成圆弧共有f(k)段，若增加第k＋1个圆与前k个圆均有两个交点，且不过前k个圆的交点，试问前k个圆的圆弧增加__________段．答案：2k7．

4、对于不等式

5、·22－2·32＋…＋(2n－1)·(2n)2－2n·(2n＋1)2＝－n(n＋1)(4n＋3)．证明：①当n＝1时，左边＝4－18＝－14＝(－1)×2×7＝右边．②假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时成立，即1·22－2·32＋…＋(2k－1)·(2k)2－2k·(2k＋1)2＝－k(k＋1)(4k＋3)．当n＝k＋1时，1·22－2·32＋…＋(2k－1)·(2k)2－2k·(2k＋1)2＋(2k＋1)·(2k＋2)2－(2k＋2)·(2k＋3)2＝－k(k＋1)(4k＋3)＋(2k＋2)[(2k＋1)(2k

6、＋2)－(2k＋3)2]＝－k(k＋1)(4k＋3)＋2(k＋1)·(－6k－7)＝－(k＋1)(k＋2)(4k＋7)＝－(k＋1)·[(k＋1)＋1][4(k＋1)＋3]，即当n＝k＋1时成立．综上所述，对一切n∈N*结论成立．B组　能力提升10．当n≥2，n∈N*时，求证：1＋＋＋…＋＞.证明：(1)当n＝2时，左边＝1＋＞1.7，右边＝，左边＞右边．(2)方法一：假设当n＝k(k≥2且k∈N*)不等式成立，即1＋＋＋…＋＞，则当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋＞＋＝＞＝＝＝右式，即当n＝k＋1时，不等式也

7、成立．方法二：假设当n＝k(k≥2，且k∈N*)时不等式成立，即1＋＋＋…＋＞，则当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋＞＋，右边＝要证不等式成立，只需证＋＞，只需证＞只需证＋1＞k＋1，只需证＞k，只需证k2＋k＞k2，只需证k＞0，由题设知显然成立．所以当n＝k＋1时，不等式也成立．方法三：假设当n＝k(k≥2，且k∈N*)时不等式成立，即1＋＋＋…＋＞，则当n＝k＋1时，左边＝1＋＋＋…＋＋＞＋，右边＝，3因为＋－＝＝＞0，所以左边＞右边．所以当n＝k＋1时，不等式也成立．根据(1)和(2)，可知对一切n∈N

8、*，且n≥2，不等式都成立．11．已知某数列的第一项为1，并且对所有的自然数n≥2，数列的前n项之积为n2.(1)写出这个数列的前5项；(2)写出这个数列的通项公式并加以证明．解析：(1)已知a1＝1，由题意，得a1·a2＝22，∴a2＝22.∵a1·a2·a3＝32，∴a3＝.同理，可得a4＝，a5＝.因此这个数列的前5项分别为1,4，，，.(2)观察这个数列的前5项，