高中数学第二章几个重要的不等式2排序不等式学案北师大版选修4-5

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1、§2　排序不等式1．了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题．2．体会运用经典不等式的一般思想方法．1．定理1设a，b和c，d都是实数，如果a≥b，c≥d，那么______≥ad＋bc，此式当且仅当______(或c＝d)时取“＝”号．【做一做1】若0＜a1＜a2,0＜b1＜b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中最大的是(　　)．A．a1b1＋a2b2B．a1a2＋b1b2C．a1b2＋a2b1D．2．(1)顺序和、乱序和、逆序和：设实数a1，a2，a3，b1，b2，b3满足a1≥a2≥a3，b

2、1≥b2≥b3，则a1b1＋a2b2＋a3b3≥a1bj1＋a2bj2＋a3bj3≥______________，其中j1，j2，j3是1,2,3的任一排列方式．上式当且仅当a1＝a2＝a3(或b1＝b2＝b3)时取“＝”号．通常称a1b1＋a2b2＋a3b3为__________，a1bj1＋a2bj2＋a3bj3为________，a1b3＋a2b2＋a3b1为________(倒序和)．(2)定理2(排序不等式)：设有两个有序实数组a1≥a2≥…≥an及b1≥b2≥…≥bn，则(顺序和)__________≥(乱序和)__

3、________________≥(逆序和)________________．其中j1，j2，…，jn是1,2,3，…，n的任一排列方式．上式当且仅当a1＝a2＝…＝an(或b1＝b2＝…＝bn)时取“＝”号．【做一做2】设a1，a2，…，an是n个互不相等的正整数，求证：＋＋…＋≤a1＋＋＋…＋．答案：1．ac＋bd　a＝b【做一做1】A　∵a1b1＋a2b2＋a1b2＋a2b1＝(a1＋a2)(b1＋b2)＝1，a1b1＋a2b2－a1b2－a2b1＝(a1－a2)(b1－b2)＞0，∴a1b1＋a2b2＞a1b2＋a2b1

4、，且a1b1＋a2b2＞＞a1b2＋a2b1．又∵1＝a1＋a2≥2，∴a1a2≤．∵0＜a1＜a2，∴a1a2＜．同理b1b2＜，∴a1a2＋b1b2＜＋＝，∴a1b1＋a2b2＞＞a1a2＋b1b2，∴a1b1＋a2b2最大．2．(1)a1b3＋a2b2＋a3b1　顺序和　乱序和　逆序和(2)a1b1＋a2b2＋…＋anbn　a1bj1＋a2bj2＋…＋anbjn　a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1【做一做2】分析：利用排序不等式来证明．4证明：设b1，b2，…，bn为a1，a2，…，an的一个排列，且b1＜b2＜…＜bn

5、，因为b1，b2，…，bn是n个互不相等的正整数，故b1≥1，b2≥2，…，bn≥n．又∵1＞＞＞…＞，由排序不等式，得a1＋＋＋…＋≥b1＋＋…＋≥1×1＋2×＋…＋n×＝1＋＋…＋，∴＋＋…＋≤a1＋＋＋…＋．1．对排序不等式的证明的理解剖析：对排序不等式的证明中，用到了“探究—猜想—检验—证明”的思维方法，这是探索新知识、新问题常用到的基本方法，对于数组涉及的“排序”及“乘积”的问题，又使用了“一一搭配”这样的描述，这实质上也是使用最接近生活常识的处理问题的方法，所以可以结合像平时班级排队等一些常识的事例来理解．对于出现的

6、“逐步调整比较法”，则要引起注意，研究数组这种带“顺序”的乘积的和的问题时，这种方法对理解相关问题是比较简单易懂的．2．排序原理的思想剖析：在解答数学问题时，常常涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，我们可以利用排序原理的思想方法，将它们按一定顺序排列起来，继而利用不等关系来解题．因此，对于排序原理，我们要记住的是处理问题的这种思想及方法，同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题．题型一　所含字母大小顺序已确定的不等式的证明【例1】已知a，b，c为正数，a≥b≥c，求证：(1)≥≥

7、；(2)＋＋≥＋＋．分析：由于题目条件中已明确a≥b≥c，故可以直接构造两个数组．反思：要利用排序原理解答相关问题，必须构造出相应的数组，并且要排列出大小顺序，因此比较出数组中的数的大小关系是解题的关键和基础．题型二　对所证不等式中的字母的大小先作出假设再证明【例2】设a，b，c为正数，求证：＋＋≥．分析：题目中没有给出a，b，c的大小关系，且a，b，c在不等式中的地位是对等的，要先设出a，b，c的大小顺序，再利用排序不等式加以证明．反思：当假设了a≥b≥c后，所用的两个数组可以完全确定了，但必须注意成立的前提是a，b，c三者的

8、地位是对等的．题型三　不等式中的字母的大小需讨论【例3】设x＞0，求证：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn．分析：题中只给出了x＞0，但是对于x≥1，x＜1并不确定，因此，我们需要分类讨论．反思：分类讨论的目的在于明确两个序列的大小顺序关系．答案：4【例