2018届高考数学一轮复习选修部分坐标系与参数方程第二节参数方程学案文选修4_4

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1、1.了解参数方程，了解参数的意义．2．能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．知识点一　参数方程的概念在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x，y都是某个变量的函数，并且对于t的每个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变量x，y的变量t是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．1．判断正误(1)参数方程(t≥1)表示的曲线为直线．(　　)(2)参数方程当m为参数时表示直线，当θ为参数时表示的曲线为圆．(　　)答案：(1)×　(2)√2．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1和

2、C2的参数方程分别为和(t为参数)，则曲线C1与C2的交点坐标为________．解析：由C1得x2＋y2＝5，且　①　由C2得x＝1＋y，②∴由①②联立解得或(舍)答案：(2,1)知识点二　常见曲线的参数方程的一般形式1．经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数)设P是直线上的任一点，则t表示有向线段的数量．2．圆的参数方程(θ为参数)3．圆锥曲线的参数方程椭圆＋＝1的参数方程为(θ为参数)抛物线y2＝2px的参数方程为(t为参数)答案1．cosα　sinα　2.cosθ　sinθ　3.cosθ　sinθ3．若直线(t为参数)与直线4x＋ky＝1

3、垂直，则常数k＝________.解析：直线(t为参数)的斜率为－，所以×＝－1，k＝－6.答案：－64．椭圆＋＝1的参数方程是________．解析：设＝cosθ，＝sinθ，则(θ为参数)，即为所求的参数方程．答案：(θ为参数)5．直线(t为参数)与圆(θ为参数)相切，则切线的倾斜角为________．解析：直线的普通方程为bx－ay－4b＝0，圆的普通方程为(x－2)2＋y2＝3，因为直线与圆相切，则圆心(2,0)到直线的距离为，从而有＝，即3a2＋3b2＝4b2，所以b＝±a，而直线的倾斜角α的正切值tanα＝，所以tanα＝±，因此切线的倾斜角为或.答案：或热点

4、一　参数方程与普通方程的互化【例1】　在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(θ为参数)．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标．【解】　因为直线l的参数方程为(t为参数)，由x＝t＋1得t＝x－1，代入y＝2t，得到直线l的普通方程为2x－y－2＝0.因为曲线C的参数方程为，由y＝2tanθ，得tanθ＝，代入①得y2＝2x.解方程组得公共点的坐标为(2,2)，，－1.【总结反思】1．将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法与加减消元法．2．把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，以及参数的取值对普通方程中x

5、及y的取值范围的影响.(1)曲线(θ为参数)的对称中心(　　)A．在直线y＝2x上B．在直线y＝－2x上C．在直线y＝x－1上D．在直线y＝x＋1上(2)(t为参数)的普通方程是________．解析：(1)由已知得消参得(x＋1)2＋(y－2)2＝1.所以其对称中心为(－1,2)．显然该点在直线y＝－2x上．故选B.(2)由参数方程得et＝x＋y，e－t＝x－y，∴(x＋y)(x－y)＝1，即x2－y2＝1.答案：(1)B　(2)x2－y2＝1热点二　直线的参数方程的应用【例2】　已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l经过定点P(3,5)，倾斜

6、角为.(1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求

7、PA

8、·

9、PB

10、的值．【解】　(1)曲线C：(x－1)2＋(y－2)2＝16，直线l：(t为参数)．(2)将直线l的参数方程代入圆C的方程可得t2＋(2＋3)t－3＝0，设t1，t2是方程的两个根，则t1t2＝－3，所以

11、PA

12、

13、PB

14、＝

15、t1

16、

17、t2

18、＝

19、t1t2

20、＝3.【总结反思】(1)解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题．(2)对于形如(t为参数)．当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题.(201

21、6·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(θ为参数)．设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长．解：椭圆C的普通方程为x2＋＝1.将直线l的参数方程代入x2＋＝1，得(1＋t)2＋＝1，即7t2＋16t＝0，解得t1＝0，t2＝－.所以AB＝

22、t1－t2

23、＝.热点三　椭圆参数方程的应用【例3】　(2016·新课标全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.(