2017-2018学年高中数学第二章解析几何初步2.2圆与圆的方程2.2.2圆的一般方程学案北师大版必修2

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1、2.2　圆的一般方程1.掌握圆的一般方程.(重点)2.了解二元二次方程表示圆的条件.(难点)3.会求圆的一般方程以及简单的轨迹方程.(难点)[基础·初探]教材整理　圆的一般方程阅读教材P81“练习”以下至P82“例3”以上部分，完成下列问题.1.圆的一般方程的定义：当D2＋E2－4F＞0时，称二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0为圆的一般方程.2.方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形：方程条件方程的解的情况图形x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0D2＋E2－4F<0没有实数解不表示任何图

2、形D2＋E2－4F＝0只有一个实数解表示一个点D2＋E2－4F>0无数个解表示以为圆心，以为半径的圆将圆的一般方程x2＋y2＋2x－4y－4＝0化为标准方程为______.【解析】　x2＋y2＋2x－4y－4＝0可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝9.【答案】　(x＋1)2＋(y－2)2＝32[小组合作型]二元二次方程与圆的关系6　判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆.若能表示圆，求出圆心和半径；若不能，请说明理由.【精彩点拨】　解答本题可直接利用D2＋E2－4F>0是否

3、成立来判断，也可把左端配方，看右端是否为大于零的常数.【自主解答】　法一：由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0，可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2，因此，当m＝2时，它表示一个点；当m≠2时，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，－m)，半径为r＝＝

4、m－2

5、.法二：原方程可化为(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，因此，当m＝2时，它表示一个点；当m≠2时，表示圆的方程，此时，圆的圆心为(

6、2m，－m)，半径为r＝

7、m－2

8、.解决这种类型的题目，一般要看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，即(1)x2与y2的系数是否相等；(2)不含xy项.当它具有圆的一般方程的特征时，再看D2＋E2－4F>0是否成立，也可以通过配方化成“标准”形式后，观察等号右边是否为正数.[再练一题]1.如果x2＋y2－2x＋y＋k＝0是圆的方程，则实数k的范围是________.【解析】　由题意可知(－2)2＋12－4k>0，即k<.【答案】　求圆的一般方程　求圆心在直线y＝x上，且经过点A(－1,1)，B(

9、3，－1)的圆的一般方程.【精彩点拨】　→→【自主解答】　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心是6，由题意知，解得D＝E＝－4，F＝－2，即所求圆的一般方程是x2＋y2－4x－4y－2＝0.【答案】　x2＋y2－4x－4y－2＝0用待定系数法求圆的方程时一般方程和标准方程的选择：(1)如果由已知条件容易求圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.(2)如果已知条件和圆心或半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系

10、数法求出参数D，E，F.[再练一题]2.已知A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)，求△ABC外接圆的方程.【解】　设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.∵A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D，E，F的三元一次方程组：即解此方程组，可得D＝－8，E＝6，F＝0，∴△ABC外接圆的方程为x2＋y2－8x＋6y＝0.[探究共研型]与圆有关的轨迹问题探究1　已知⊙O的方程为x2＋y2＝25，动弦AB的长为8，请

11、求出弦AB的中点P的轨迹方程.【提示】　∵

12、OP

13、＝＝3，∴点P的轨迹为以O为圆心，3为半径的圆，∴点P的轨迹方程为x2＋y2＝9.探究2　已知Rt△ABC的两个顶点A(－1,0)和B(3,0)，求直角顶点C的轨迹方程.【提示】　法一：设顶点C(x，y)，因为AC⊥BC，且A，B，C三点不共线，所以x≠3且x≠－1.又kAC＝，kBC＝，6且kAC·kBC＝－1，所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1).法二：取线段A

14、B中点D，则

15、CD

16、＝

17、AB

18、＝2，又D(1,0)，所以点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4.(x≠3，且x≠－1).　已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.【导学号：39292103】【精彩点拨】　点M随点A运动而运动，将A点坐标用B，M两点坐标表示，再将A点坐标代入圆的方程，即得M点的轨迹方程.【自主解答】　设点M的坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，由于点B的坐标是(4,3)且点M是线段AB的中点，所以x＝