2017-2018学年高中数学第一章立体几何初步1.7简单几何体的面积和体积1.7.3球学案北师大版必修2

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1、7.3　球1.了解球的体积和表面积公式.(重点)2.会用球的体积和表面积公式解决实际问题.(难点)[基础·初探]教材整理　球阅读教材P48“7.3　球”一节至P49“例6”以上部分，完成下列问题.1.球的体积：球的半径为R，那么它的体积V球＝πR3.2.球的表面积：球的半径为R，那么它的表面积S球面＝4πR2.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)直径为d的球的表面积S＝4πd2.(　　)(2)若球的表面积扩大为原来的16倍，则球的半径扩大为原来的4倍.(　　)(3)若球的半径变为原来的2倍，则球的体积变为

2、原来的4倍.(　　)【答案】　(1)√　(2)√　(3)×[小组合作型]球的表面积与体积的计算　已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于，且AC＝BC＝，AB＝2，求球面面积与球的体积.【精彩点拨】　利用已知条件，结合球心与截面圆心连线垂直于截面而构成的直角三角形，求出半径，从而求出球的体积与表面积.【自主解答】　如图所示，设球心为O，球半径为R，作OO1⊥平面ABC于O1，由于OA＝OB＝OC＝R，则O1是△ABC的外心.7由AC＝BC＝，AB＝2，知△ABC是AB为斜边的直角三角形，∴O1是AB的中点

3、，在Rt△AOO1中，OO1＝，O1A＝AB＝1，∴OA＝2，即R＝2，∴S球面＝4πR2＝16π，V球＝πR3＝π.1.球的表面积和体积只与球的半径有关，因此解决该类问题的关键是如何根据已知条件求出球的半径.2.在求球的半径时，常用一个平面去截一个球，截面是圆面，球的截面有下面的性质：(1)球心和截面圆心的连线垂直于截面；(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有下面的关系d＝.[再练一题]1.过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为48πcm2，试求此球的表面积和体积.【解】　

4、如图，设截面圆的圆心为O1，则OO1⊥O1A，O1A为截面圆的半径，OA为球的半径.∵48π＝π·O1A2，∴O1A2＝48.在Rt△AO1O中，OA2＝O1O2＋O1A2，即R2＝＋48，∴R＝8(cm)，∴S球面＝4πR2＝4π×64＝256π(cm2)，V球＝πR3＝π(cm3).球的表面积及体积的应用　一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是正三角形.在此容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水面恰好和球面相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水面的高是多少？【导学号：39292055】【精彩点拨】　设出球未

5、取出时的水面高度和取出后的水面高度，由水面下降后减少的体积来建立一个关系式来解决.【自主解答】　设△PAB所在平面为轴截面，AB为水平面，设球未取出时，水面高PC＝7h，球取出后水面高PH＝x，如图所示.∵AC＝r，PC＝3r，∴以AB为底面直径的圆锥的容积为V圆锥＝πAC2·PC＝π(r)2·3r＝3πr3，V球＝πr3.球取出后水面下降到EF，水的体积为V水＝πEH2·PH＝π(PH·tan30°)2·PH＝πx3.而V水＝V圆锥－V球，即πx3＝3πr3－πr3，∴x＝r.故球取出后水面的高为r.1.画出截

6、面图是解答本题的关键.2.球的体积和表面积有着非常重要的应用.在具体问题中，要分清涉及的是体积问题还是表面积问题，然后再利用等量关系进行计算.[再练一题]2.圆柱形容器的内壁底面半径为5cm，两个直径为5cm的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器的水面将下降多少？【解】　设取出小球后，容器中水面下降hcm，两个小球的体积为V球＝2×π×＝，此体积即等于它们在容器中排出水的体积V＝π×52×h，所以＝π×52×h，所以h＝(cm)，即若取出这两个小球，则容器的水面将下降cm.[探究共研型]与球有关的

7、切、接问题探究1　一个正方体的内切球与其外接球的体积之比是多少？7【提示】　设正方体的棱长为a，则它的内切球的半径为a，它的外接球的半径为a，故所求的比为1∶3.探究2　长方体一个顶点上的三条棱长分别为3,4,5，若它的八个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是多少？【提示】　设长方体的体对角线长为l，球半径为R，则所以R＝，所以S球＝4πR2＝50π.　在半球内有一个内接正方体，试求这个半球的体积与正方体的体积之比.【精彩点拨】　解答本题关键是找到球的半径与正方体的棱长间的关系，可通过正方体的对角面，也可将半

8、球补成球，将其转化为球的内接长方体问题，找到球的半径与正方体棱长的关系后，再利用体积公式计算，进而作比即可.【自主解答】　法一：作正方体对角面的截面，如图所示，设半球的半径为R，正方体的棱长为a，那么CC′＝a，OC＝，在Rt△C′CO中，由勾股定理，得CC′2＋OC2＝OC′2，即a2＋＝R2，所以R＝a.从而V半球＝πR3＝π＝πa3，V正方体＝a3.因此V半球∶V正