[计算机硬件及网络]数值分析教程

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1、计算方法第一章引论一、数值分析的概念、地位和特点§1数值分析的研究对象（课程简介）数值分析是研究各种数学问题的数值方法的设计、分析、有关的数学理论和具体实现的一门学科。实际上就是介绍用计算机解决数学问题的计算方法及其理论。这门课程又称为(数值)计算方法、数值计算等。1.数值分析的概念3先看两个例子。例1求方程x2=2sinx，在区间(1,2)内的根。理论上可知显然找不出根的解析式，即无法求出精确解。例2用Cramer法则求解n元线性方程组。显然理论上可行，且有精确表达式。实际计算时会出现什么问题呢？若记,则有n阶线性代数方程组:克莱姆算法若A是非

2、奇异矩阵，则方程组有唯一解。记D=detA，应用Cramer法则可得即其中利用Cramer法则求解方程组需要进行的乘法和除法的次数为：数值分析输入复杂问题或运算计算机近似解利用计算机高速的简单运算(加、减、乘、除)去实现各种复杂的功能。数值分析的本质科学计算的核心内容是以现代化的计算机及数学软件（Matlab,Mathematica,Maple,MathCADetc.）为工具，以数学模型为基础进行模拟研究。现代科学的三个组成部分:科学理论,科学实验,科学计算2.数值分析的地位促使一些边缘学科的相继出现：计算数学,计算物理学,计算力学,计算

3、化学,计算生物学,计算地质学,计算经济学,等等实际问题建立数学模型数值分析提出算法程序设计编程上机计算分析结果并对实际问题进行解释说明在建立了数学模型之后，并不能立刻用计算机直接求解，还必须寻找用计算机计算这些数学模型的数值方法，即将数学模型中的连续变量离散化，转化成一系列相应的算法步骤，编制出正确的计算程序，再上机计算得出满意的数值结果。总的来看，数值分析这门课具有以下几个特点：(1)数值分析是一门与计算机应用密切结合的实用性很强的学科；(2)面向计算机，要根据计算机的特点提供实际可行的有效算法；(3)有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求

4、，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性；3.数值分析的特点(4)要有好的算法复杂性，即时间复杂度和空间复杂度要小；(5)要有数值试验。二、数值分析的研究内容◆插值问题（Ch2）◆线性代数方程组的数值解法(Ch5,Ch6)◆非线性方程组的数值解法(Ch7)◆数值积分与数值微分(Ch4)◆常微分方程的数值解法(Ch9)◆函数逼近(Ch3)◆代数特征值问题(Ch8)理论上课时数：30上机实验时数：0参考书：1.《计算方法（c语言版）》（第1版），靳天飞等，清华大学出版社，2010.6教材：1.《数值分析》（第5版），李庆扬等，清华大学出版社，2008.1

5、2实际问题建立数学模型确定数值计算方法编制程序上机算出结果§2数值计算的误差2.1误差的来源与分类用计算机解决科学计算问题时，需要经历以下几个环节：数值结果是指在选择某种数值方法之后，编制程序正确，输入初始数据正确的情形下所获得的结果。实际问题的精确解与用计算机计算出来的数值结果之间就有差异，这种差异在数学上称为误差。现实世界研究对象观测数据数学模型的建立计算方法的构成数值运算的执行观测误差模型误差截断误差舍入误差结果模型误差/*ModelingError*/——从实际问题中抽象出数学模型时产生的误差观测误差/*MeasurementError*

6、/——通过测量得到模型中参数的值导致输入数据的误差方法误差(截断误差/*TruncationError*/)——近似求解时产生的误差舍入误差/*RoundoffError*/——由于计算机字长有限而在数值运算的每一步所产生的误差大家一起猜？11/e解法之一：将作Taylor展开后再积分S4R4/*Remainder*/取则称为截断误差/*TruncationError*/

7、舍入误差/*RoundoffError*/

8、=0.747……由截去部分/*excludedterms*/引起由留下部分/*includedterms*/引起设是某实数的精确值,

9、是它的一个近似值，则称为近似值的绝对误差，简称误差.2.2误差与有效数字定义2.1绝对误差、相对误差定义2.2绝对误差界、相对误差界若，则称为绝对误差界，简称误差界称为相对误差界,记为.称为的相对误差,常用表示.定义2.3有效数字/*significantdigits*/用科学计数法，记（其中）.若（即的截取按四舍五入规则），则称为有n位有效数字，精确到。例：问：有几位有效数字？请证明你的结论.证明：有5位有效数字，精确到小数点后第4位。注：0.2300有4位有效数字，而0.0023只有2位有效。12300如果写成0.123105，则表示只有

10、3位有效数字.数字末尾的0不可随意省去！例:设x1=1.73,x2=1.7321,x3=1.7320是其近似值,问它们分别有几位有效数字