[理学]ch 7 特征值与特征向量

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1、第七章方阵的特征值与相似对角化一特征值与特征向量三实对称阵的相似对角化二相似矩阵引入特征值与特征向量的动机1.旋转变换的轴2.椭圆的轴3.矩阵对角化4.研究线性变换特征值与特征向量的引入定义Ａ为ｎ阶方阵，x为向量称为一个从x到y的一般来说，x,y没有太多关系。但有时它们成比例。的线性变换。特征值与特征向量的概念定义Ａ为ｎ阶方阵，是一个关于称为Ａ的特征方程，的n次多项式，称为A的特征多项式。的根称为Ａ的特征值.解例1定义Ａ为ｎ阶方阵,λ为特征值，为ｎ维非零向量，若则称为Ａ的对应特征值λ的特征向量．解例1矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征值的事

2、实:阶上三角阵则　和　有相同的特征值．性质7-6例３设求A的特征值与特征向量．解得基础解系为：注2并不一定唯一；3ｎ阶方阵Ａ的特征方程，是以1特征向量　　，特征值问题只针对与方阵；性质7-1ｎ阶方阵有且只有n个特征值（k重特征值算k个）λ为未知数的一元ｎ次方程属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于这个特征值的特征向量.4一个特征值具有的特征向量不唯一；一个特征向量不能属于不同的特征值．求矩阵特征值与特征向量的步骤：小结性质7－2设ｎ阶方阵　　　　的特征值为则证明①当　　　　　是Ａ的特征值时，Ａ的特征多项式可分解为令得即方阵A可逆A的

3、特征值都不为零。推论7－1证明它的展开式中，主对角线上元素的乘积是其中的一项，由行列式的定义，展开式中的其它项至多含ｎ－２个主对角线上的元素，含　　　　的项只能在主对角线上元素的乘积项中．故有比较①，有因此，特征多项式中定义方阵Ａ的主对角线上的元素之和称为方阵Ａ的迹.记为例如所以的三个特征值例P113#5若非零向量p满足性质7－3则是A的特征值，p是A的特征向量。例：方阵A的每行元素的和为3,则3为特征值。为　的特征值．性质7-4证明因为所以所以是的特征值，p是的特征向量。则　为　的特征值．推论５为　的特征值．例若数λ为可逆阵的Ａ的特征值，

4、则　为　的特征值．推论为的特征值．则0为A的特征值。例三、应用举例１、若λ＝２为可逆阵Ａ的特征值，则的一个特征值为（　　）２、若方阵Ａ的满足　　　，则Ａ的特征值为０或１．３、三阶方阵Ａ的三个特征值为１、２、０，则（　　）证明用A作用得即二、特征值和特征向量的性质即四、特征向量的性质定理7-1P112互异特征值对应的特征向量线性无关。定理7-2互异特征值对应的各自线性无关的特征向量并在一块，所得的向量组仍然线性无关。定理7-4P116方阵Ａ的特征值为k重特征值，则其对应的线性无关的特征向量的个数至多为k个．第二节、相似矩阵性质1.证明推论若阶

5、方阵A与对角阵推论相似方阵有相同的行列式和迹P118#1,2相似变换的重要意义在于简化对矩阵的各种运算，其方法是先通过相似变换，将矩阵变成与之等价的对角矩阵，再对对角矩阵进行运算，从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算．利用对角矩阵计算矩阵多项式定理证明证明三、相似变换将方阵对角化推论如果n阶矩阵A的n个特征值互不相等，则A与对角阵相似．说明如果A的特征方程有重根，此时不一定有n个线性无关的特征向量，从而矩阵A不一定能对角化.但如果能找到n个线性无关的特征向量，A还是能对角化．定理互异特征值对应的各自线性无关的特征向量并在

6、一块，所得的向量组仍然线性无关。定理7－5P117若ｎ阶矩阵Ａ的任k重特征值对应的线性无关的特征向量的个数正好为k，则A与对角阵相似(可相似对角化)。这是充要条件。定理7-4P116方阵Ａ的特征值为k重特征值，则其对应的线性无关的特征向量的个数至多为k个．例1判断下列实矩阵能否化为对角阵？解之得基础解系故不能化为对角矩阵.A能否对角化？若能对角例2解解之得基础解系所以可对角化.注意即矩阵P的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相互对应．推论如果A有n个线性无关的特征向量，则A与对角阵相似．定理1对称矩阵的特征值均为实数.证明第三节、对称矩阵的相

7、似对角化说明：本节所提到的对称矩阵，均指实对称矩阵．证明于是利用正交矩阵将对称矩阵化为对角矩阵步骤为：二、利用正交矩阵将对称矩阵对角化的方法将特征向量施密特标准正交化;2.1.写出正交矩阵和对角矩阵3.解例对下列各实对称矩阵，分别求出正交矩阵，使为对角阵.(1)第一步求的特征值第三步将特征向量正交化第四步将特征向量单位化注意各特征值的排列顺序思考题思考题2.对称矩阵的性质：三、小结(1)特征值为实数；(2)属于不同特征值的特征向量正交；(3)必存在正交矩阵，将其化为对角矩阵，且对角矩阵对角元素即为特征值．3.利用正交矩阵将对称阵化为对角阵的

8、步骤：(1)求特征值，特征向量；(2)将特征向量标准正交化，（3）写出P,与对角阵1.方阵可对角化的充要条件是：有n个线性无关的特征向量。英国数学家A.Cayley（1821-1